Страница 342 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

995. Найти коэффициенты $k$ и $b$ линейной функции $y = kx + b$, если её график проходит через точки A и B:

1) $A(-1; -2)$, $B(3; 2);$

2) $A(2; 1)$, $B(1; 2);$

3) $A(4; 2)$, $B(-4; -3);$

4) $A(-2; -2)$, $B(3; -2).$

1) A(-1; -2), B(3; 2)

Для нахождения коэффициентов $k$ и $b$ линейной функции $y = kx + b$ подставим координаты точек A и B в уравнение функции. Это даст нам систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} -2 = k \cdot (-1) + b \\ 2 = k \cdot 3 + b \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} -2 = -k + b \\ 2 = 3k + b \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $k$:
$2 - (-2) = (3k + b) - (-k + b)$
$4 = 3k + b + k - b$
$4 = 4k$
$k = 1$

Теперь подставим найденное значение $k=1$ в первое уравнение ($ -2 = -k + b $), чтобы найти $b$:
$-2 = -1 + b$
$b = -2 + 1$
$b = -1$

Ответ: $k = 1$, $b = -1$.

2) A(2; 1), B(1; 2)

Составим систему уравнений, подставив координаты точек A и B в уравнение $y = kx + b$:

$ \begin{cases} 1 = k \cdot 2 + b \\ 2 = k \cdot 1 + b \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} 1 = 2k + b \\ 2 = k + b \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $k$:
$1 - 2 = (2k + b) - (k + b)$
$-1 = 2k + b - k - b$
$-1 = k$

Подставим значение $k=-1$ во второе уравнение ($ 2 = k + b $), чтобы найти $b$:
$2 = -1 + b$
$b = 2 + 1$
$b = 3$

Ответ: $k = -1$, $b = 3$.

3) A(4; 2), B(-4; -3)

Составим систему уравнений, подставив координаты точек A и B в уравнение $y = kx + b$:

$ \begin{cases} 2 = k \cdot 4 + b \\ -3 = k \cdot (-4) + b \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} 2 = 4k + b \\ -3 = -4k + b \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $b$:
$2 + (-3) = (4k + b) + (-4k + b)$
$-1 = 2b$
$b = -\frac{1}{2}$

Подставим найденное значение $b = -\frac{1}{2}$ в первое уравнение ($ 2 = 4k + b $), чтобы найти $k$:
$2 = 4k - \frac{1}{2}$
$2 + \frac{1}{2} = 4k$
$\frac{5}{2} = 4k$
$k = \frac{5}{2 \cdot 4} = \frac{5}{8}$

Ответ: $k = \frac{5}{8}$, $b = -\frac{1}{2}$.

4) A(-2; -2), B(3; -2)

Составим систему уравнений, подставив координаты точек A и B в уравнение $y = kx + b$:

$ \begin{cases} -2 = k \cdot (-2) + b \\ -2 = k \cdot 3 + b \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} -2 = -2k + b \\ -2 = 3k + b \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго:
$(-2) - (-2) = (3k + b) - (-2k + b)$
$0 = 3k + b + 2k - b$
$0 = 5k$
$k = 0$

Подставим найденное значение $k=0$ в первое уравнение ($ -2 = -2k + b $), чтобы найти $b$:
$-2 = -2 \cdot 0 + b$
$-2 = 0 + b$
$b = -2$

Ответ: $k = 0$, $b = -2$.

996. Через точку $A(-3; 2)$ проходит прямая, параллельная прямой, проходящей через точки $B(-2; 2)$ и $C(3; 0)$. Записать формулы, задающие линейные функции, графиками которых являются данные прямые.

Для решения задачи необходимо найти уравнения для двух прямых: прямой, проходящей через точки B и C, и прямой, проходящей через точку A и параллельной первой.

Формула для прямой, проходящей через точки B(-2; 2) и C(3; 0)

Общий вид уравнения линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член (ордината точки пересечения с осью Y).

Найдем угловой коэффициент $k$ для прямой BC, используя координаты точек B($x_1$; $y_1$) = (-2; 2) и C($x_2$; $y_2$) = (3; 0) по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 2}{3 - (-2)} = \frac{-2}{3 + 2} = -\frac{2}{5}$

Теперь уравнение прямой принимает вид $y = -\frac{2}{5}x + b$. Для нахождения коэффициента $b$ подставим в уравнение координаты одной из точек, например, C(3; 0):

$0 = -\frac{2}{5} \cdot 3 + b$

$0 = -\frac{6}{5} + b$

$b = \frac{6}{5}$

Следовательно, формула для первой прямой, проходящей через точки B и C:

Ответ: $y = -\frac{2}{5}x + \frac{6}{5}$

Формула для прямой, проходящей через точку A(-3; 2) и параллельной прямой BC

Условие параллельности двух прямых заключается в том, что их угловые коэффициенты равны. Поэтому для искомой прямой угловой коэффициент $k$ также равен $-\frac{2}{5}$.

Уравнение этой прямой имеет вид $y = -\frac{2}{5}x + b$. Она проходит через точку A(-3; 2). Подставим эти координаты в уравнение, чтобы найти новый коэффициент $b$:

$2 = -\frac{2}{5} \cdot (-3) + b$

$2 = \frac{6}{5} + b$

$b = 2 - \frac{6}{5} = \frac{10}{5} - \frac{6}{5} = \frac{4}{5}$

Следовательно, формула для второй прямой, проходящей через точку A:

Ответ: $y = -\frac{2}{5}x + \frac{4}{5}$

997. Выяснить, принадлежит ли прямой $x + \frac{y}{2} = 1$ точка A:

1) $A(-1; 4)$;

2) $A(0; 3)$;

3) $A(1; 0)$;

4) $A(\frac{3}{2}; -1)$.

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка с заданными координатами $(x; y)$ прямой, уравнение которой $x + \frac{y}{2} = 1$, необходимо подставить эти координаты в уравнение. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит прямой. В противном случае — не принадлежит.

1) A(-1; 4);
Подставляем координаты точки A ($x = -1$ и $y = 4$) в уравнение прямой:
$-1 + \frac{4}{2} = -1 + 2 = 1$.
Получили равенство $1 = 1$, которое является верным. Следовательно, точка A(-1; 4) принадлежит данной прямой.
Ответ: принадлежит.

2) A(0; 3);
Подставляем координаты точки A ($x = 0$ и $y = 3$) в уравнение прямой:
$0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.
Получили равенство $\frac{3}{2} = 1$ (или $1.5 = 1$), которое является неверным. Следовательно, точка A(0; 3) не принадлежит данной прямой.
Ответ: не принадлежит.

3) A(1; 0);
Подставляем координаты точки A ($x = 1$ и $y = 0$) в уравнение прямой:
$1 + \frac{0}{2} = 1 + 0 = 1$.
Получили равенство $1 = 1$, которое является верным. Следовательно, точка A(1; 0) принадлежит данной прямой.
Ответ: принадлежит.

4) A($\frac{3}{2}$; -1).
Подставляем координаты точки A ($x = \frac{3}{2}$ и $y = -1$) в уравнение прямой:
$\frac{3}{2} + \frac{-1}{2} = \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Получили равенство $1 = 1$, которое является верным. Следовательно, точка A($\frac{3}{2}$; -1) принадлежит данной прямой.
Ответ: принадлежит.

998. Линейная функция задана формулой $y = -\frac{3}{4}x + 2$. Найти:

1) точки A и B пересечения графика этой функции с осями координат;

2) длину отрезка AB;

3) расстояние от начала координат до прямой $y = -\frac{3}{4}x + 2$.

1) точки А и В пересечения графика этой функции с осями координат;

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, нужно поочередно приравнять к нулю каждую из координат ($x$ и $y$).

Найдем точку пересечения с осью ординат (осью $Oy$). В этой точке координата $x$ равна 0. Подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = -\frac{3}{4} \cdot 0 + 2 = 2$

Следовательно, точка пересечения с осью $Oy$ — это точка $A(0; 2)$.

Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью $Ox$). В этой точке координата $y$ равна 0. Подставим $y=0$ в уравнение функции:

$0 = -\frac{3}{4}x + 2$

Перенесем член с $x$ в левую часть:

$\frac{3}{4}x = 2$

Теперь найдем $x$:

$x = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

Следовательно, точка пересечения с осью $Ox$ — это точка $B(\frac{8}{3}; 0)$.

Ответ: Точки пересечения с осями координат: $A(0; 2)$ и $B(\frac{8}{3}; 0)$.

2) длину отрезка АВ;

Для нахождения длины отрезка $AB$ воспользуемся формулой расстояния между двумя точками с координатами $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты точек $A(0; 2)$ и $B(\frac{8}{3}; 0)$:

$AB = \sqrt{(\frac{8}{3} - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(\frac{8}{3})^2 + (-2)^2}$

$AB = \sqrt{\frac{64}{9} + 4} = \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{36}{9}} = \sqrt{\frac{100}{9}}$

$AB = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{9}} = \frac{10}{3}$

Ответ: Длина отрезка $AB$ равна $\frac{10}{3}$.

3) расстояние от начала координат до прямой $y = -\frac{3}{4}x + 2$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAB$, где $O(0;0)$ — начало координат, а точки $A(0;2)$ и $B(\frac{8}{3};0)$ лежат на осях координат.

Катеты этого треугольника — это отрезки $OA$ и $OB$. Их длины равны соответствующим ненулевым координатам точек $A$ и $B$:

$OA = 2$

$OB = \frac{8}{3}$

Гипотенуза — это отрезок $AB$, длину которого мы нашли в предыдущем пункте: $AB = \frac{10}{3}$.

Искомое расстояние от начала координат до прямой $y = -\frac{3}{4}x + 2$ (которая проходит через точки A и B) является высотой $h$, проведенной из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $AB$.

Площадь треугольника $OAB$ можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{8}{3}$.

2. Через гипотенузу и высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{3} \cdot h$.

Приравняем оба выражения для площади:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{10}{3} \cdot h = \frac{8}{3}$

$\frac{5}{3}h = \frac{8}{3}$

Умножим обе части на 3:

$5h = 8$

$h = \frac{8}{5} = 1.6$

Ответ: Расстояние от начала координат до прямой равно $\frac{8}{5}$ или 1.6.

999. Найти значения $x$, при которых график функции $y=2x-1$ лежит ниже графика функции $y=3x-2$.

Условие, при котором график функции $y = 2x - 1$ лежит ниже графика функции $y = 3x - 2$, можно записать в виде неравенства. Значения функции $y = 2x - 1$ должны быть меньше значений функции $y = 3x - 2$.

Составим и решим соответствующее неравенство:

$2x - 1 < 3x - 2$

Для решения неравенства сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а постоянные члены — в другой. Перенесем $2x$ в правую часть, а $-2$ — в левую, изменив их знаки при переносе:

$-1 + 2 < 3x - 2x$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$1 < x$

Это неравенство эквивалентно записи $x > 1$.

Таким образом, график функции $y = 2x - 1$ лежит ниже графика функции $y = 3x - 2$ для всех значений $x$, которые строго больше 1.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$

1000. Найти значения $x$, при которых график функции $y=(\sqrt{3}-2)x-\sqrt{3}$ лежит выше графика функции $y=(1+\sqrt{3})x+2\sqrt{3}$.

Условие "график функции $y = (\sqrt{3}-2)x - \sqrt{3}$ лежит выше графика функции $y = (1+\sqrt{3})x + 2\sqrt{3}$" означает, что для одних и тех же значений x значение первой функции должно быть больше значения второй. Это приводит к следующему неравенству:

$(\sqrt{3}-2)x - \sqrt{3} > (1+\sqrt{3})x + 2\sqrt{3}$

Для решения неравенства перенесем все члены с переменной x в левую часть, а свободные члены — в правую:

$(\sqrt{3}-2)x - (1+\sqrt{3})x > 2\sqrt{3} + \sqrt{3}$

Вынесем x за скобки в левой части и упростим правую часть:

$(\sqrt{3} - 2 - 1 - \sqrt{3})x > 3\sqrt{3}$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$(-3)x > 3\sqrt{3}$

Разделим обе части неравенства на -3. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{3\sqrt{3}}{-3}$

$x < -\sqrt{3}$

Таким образом, искомые значения x принадлежат интервалу $(-\infty; -\sqrt{3})$.

Ответ: $x < -\sqrt{3}$ (или в виде интервала $x \in (-\infty; -\sqrt{3})$).

1001. Доказать, что функция $y=2x-3$ возрастает.

Для доказательства того, что функция $y = 2x - 3$ является возрастающей, воспользуемся определением возрастающей функции. Функция $f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Область определения данной функции — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Возьмем два произвольных значения аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения, для которых выполняется условие $x_2 > x_1$.

Найдем значения функции в этих точках:

$y_1 = f(x_1) = 2x_1 - 3$

$y_2 = f(x_2) = 2x_2 - 3$

Теперь сравним значения $y_2$ и $y_1$, вычислив их разность:

$y_2 - y_1 = (2x_2 - 3) - (2x_1 - 3)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y_2 - y_1 = 2x_2 - 3 - 2x_1 + 3 = 2x_2 - 2x_1$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$y_2 - y_1 = 2(x_2 - x_1)$

Согласно нашему первоначальному условию, $x_2 > x_1$, следовательно, разность $(x_2 - x_1)$ является положительным числом, то есть $(x_2 - x_1) > 0$.

Произведение положительного числа 2 на положительное число $(x_2 - x_1)$ также является положительным:

$2(x_2 - x_1) > 0$

Из этого следует, что разность $y_2 - y_1 > 0$, что эквивалентно неравенству $y_2 > y_1$.

Таким образом, мы доказали, что для любых $x_2 > x_1$ выполняется $f(x_2) > f(x_1)$. Это означает, что функция $y = 2x - 3$ является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: Утверждение доказано: функция $y = 2x - 3$ является возрастающей.

1002. Доказать, что функция $y=-\sqrt{3x}-3$ убывает.

Для того чтобы доказать, что функция $y = -\sqrt{3x-3}$ убывает, необходимо показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $y(x_2) < y(x_1)$. Сделаем это двумя способами.

Способ 1: Доказательство по определению убывающей функции

1. Сначала найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$3x - 3 \ge 0$

$3x \ge 3$

$x \ge 1$

Следовательно, область определения функции $D(y)$ — это промежуток $[1, +\infty)$.

2. Теперь возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из области определения $[1, +\infty)$ так, чтобы выполнялось условие $x_2 > x_1$.

3. Преобразуем неравенство $x_2 > x_1$ шаг за шагом:

- Умножим обе части на 3 (знак неравенства не изменится):

$3x_2 > 3x_1$

- Вычтем из обеих частей 3 (знак неравенства не изменится):

$3x_2 - 3 > 3x_1 - 3$

- Так как $x_1 \ge 1$, то обе части неравенства $3x_1 - 3$ и $3x_2 - 3$ неотрицательны. Мы можем извлечь из них квадратный корень. Функция $g(t) = \sqrt{t}$ является возрастающей для неотрицательных $t$, поэтому знак неравенства сохранится:

$\sqrt{3x_2 - 3} > \sqrt{3x_1 - 3}$

- Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-\sqrt{3x_2 - 3} < -\sqrt{3x_1 - 3}$

4. Мы получили, что $y(x_2) < y(x_1)$. Так как это соотношение выполняется для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения при $x_2 > x_1$, функция $y = -\sqrt{3x-3}$ является убывающей на всей своей области определения.

Способ 2: Доказательство с помощью производной

1. Найдем производную функции. Если производная функции отрицательна на некотором интервале, то функция на этом интервале убывает.

Производная функции $y = -\sqrt{3x-3}$ находится по правилу дифференцирования сложной функции:

$y'(x) = \left(-\sqrt{3x-3}\right)' = \left(-(3x-3)^{\frac{1}{2}}\right)'$

$y'(x) = -\frac{1}{2}(3x-3)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (3x-3)'$

$y'(x) = -\frac{1}{2}(3x-3)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3$

$y'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{3x-3}}$

2. Определим знак производной. Производная определена при $3x-3 > 0$, то есть на интервале $(1, +\infty)$.

На этом интервале:

- Выражение в знаменателе $2\sqrt{3x-3}$ всегда положительно, так как корень из положительного числа положителен.

- Числитель равен -3, то есть он отрицателен.

Следовательно, значение производной $y'(x)$ всегда отрицательно на интервале $(1, +\infty)$.

3. Поскольку производная $y'(x) < 0$ для всех $x \in (1, +\infty)$, а в точке $x=1$ функция непрерывна, то функция $y = -\sqrt{3x-3}$ убывает на всей своей области определения $[1, +\infty)$.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: Утверждение доказано. Функция $y = -\sqrt{3x-3}$ является убывающей на всей своей области определения $[1, +\infty)$.

1003. Выяснить, пересекаются ли графики функций:

1) $y=3x-2$ и $y=3x+1$;

2) $y=3x-2$ и $y=5x+1$.

1) $y = 3x - 2$ и $y = 3x + 1$

Чтобы определить, пересекаются ли графики двух линейных функций, можно сравнить их угловые коэффициенты и свободные члены. Общий вид линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – свободный член (точка пересечения с осью $y$).

Для первой функции $y = 3x - 2$, угловой коэффициент $k_1 = 3$, а свободный член $b_1 = -2$.

Для второй функции $y = 3x + 1$, угловой коэффициент $k_2 = 3$, а свободный член $b_2 = 1$.

Мы видим, что угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2 = 3$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$). Это является условием того, что прямые параллельны и не совпадают. Параллельные прямые не имеют общих точек.

Алгебраически, если бы графики пересекались, то нашлась бы такая точка $(x, y)$, которая удовлетворяла бы обоим уравнениям. Приравняем правые части уравнений:

$3x - 2 = 3x + 1$

$3x - 3x = 1 + 2$

$0 = 3$

Полученное равенство является ложным, что означает, что система уравнений не имеет решений. Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: графики функций не пересекаются.

2) $y = 3x - 2$ и $y = 5x + 1$

Сравним угловые коэффициенты данных функций.

Для функции $y = 3x - 2$ угловой коэффициент $k_1 = 3$.

Для функции $y = 5x + 1$ угловой коэффициент $k_2 = 5$.

Так как угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), прямые не параллельны и, следовательно, пересекаются в одной точке. Чтобы найти эту точку, приравняем правые части уравнений:

$3x - 2 = 5x + 1$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$-2 - 1 = 5x - 3x$

$-3 = 2x$

$x = -\frac{3}{2} = -1.5$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений. Например, в первое:

$y = 3x - 2 = 3 \cdot (-1.5) - 2 = -4.5 - 2 = -6.5$

Таким образом, графики функций пересекаются в точке с координатами $(-1.5; -6.5)$.

Ответ: графики функций пересекаются.

1004. Построить график функции:

1) $y = 2 - |x|$;

2) $y = |2 - x|$;

3) $y = |2 - x| + |x - 3|$.

Выяснить, пересекает ли график каждой из данных функций прямую $y = 3$. В случае утвердительного ответа найти координаты точек пересечения.

Рассмотрим функцию $y = 2 - |x|$.

Для построения графика этой функции воспользуемся преобразованиями графика базовой функции $y = |x|$.
1. График $y = |x|$ представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх.
2. График $y = -|x|$ получается из графика $y = |x|$ симметричным отражением относительно оси Ox. Это будет "галочка", перевернутая вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$.
3. График $y = 2 - |x|$ (или $y = -|x| + 2$) получается из графика $y = -|x|$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Таким образом, искомый график — это перевернутая "галочка" с вершиной в точке $(0, 2)$. Также можно раскрыть модуль: $y = \begin{cases} 2 - x, & \text{если } x \ge 0 \\ 2 + x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Теперь выясним, пересекает ли этот график прямую $y = 3$. Для этого решим уравнение $2 - |x| = 3$.
$-|x| = 3 - 2$
$-|x| = 1$
$|x| = -1$
Это уравнение не имеет решений, так как модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной. Следовательно, график функции $y = 2 - |x|$ не пересекает прямую $y = 3$. Это также видно из графика: максимальное значение функции достигается в ее вершине и равно 2, поэтому функция не может принимать значение 3.

Ответ: График не пересекает прямую $y=3$.

Рассмотрим функцию $y = |2 - x|$.

Учитывая свойство модуля $|a-b|=|b-a|$, можем записать функцию как $y = |x - 2|$.
График этой функции получается из графика базовой функции $y = |x|$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина "галочки" будет находиться в точке $(2, 0)$, а ветви будут направлены вверх.
Также можно раскрыть модуль: $y = \begin{cases} 2 - x, & \text{если } 2 - x \ge 0 \implies x \le 2 \\ -(2 - x) = x - 2, & \text{если } 2 - x < 0 \implies x > 2 \end{cases}$

Выясним, пересекает ли график прямую $y = 3$. Для этого решим уравнение $|2 - x| = 3$.
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
1) $2 - x = 3 \implies -x = 1 \implies x = -1$
2) $2 - x = -3 \implies -x = -5 \implies x = 5$
Мы получили два значения $x$. Это абсциссы точек пересечения. Ордината в обоих случаях равна 3. Таким образом, точки пересечения имеют координаты $(-1, 3)$ и $(5, 3)$.

Ответ: График пересекает прямую $y=3$ в точках с координатами $(-1, 3)$ и $(5, 3)$.

Рассмотрим функцию $y = |2 - x| + |x - 3|$.

Для построения графика раскроем модули. Выражения под модулями обращаются в ноль при $x = 2$ и $x = 3$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала, на каждом из которых мы раскроем модули.
1. При $x < 2$: Оба выражения $2-x$ и $3-x$ положительны. Так как $x-3$ отрицательно, то $|x-3|=-(x-3)=3-x$. Функция принимает вид: $y = (2 - x) + (3 - x) = 5 - 2x$.
2. При $2 \le x < 3$: Выражение $2-x$ неположительно, а $x-3$ отрицательно. Функция принимает вид: $y = -(2 - x) + (-(x - 3)) = (x - 2) + (3 - x) = 1$.
3. При $x \ge 3$: Выражение $2-x$ отрицательно, а $x-3$ неотрицательно. Функция принимает вид: $y = -(2 - x) + (x - 3) = (x - 2) + (x - 3) = 2x - 5$.
Итак, функция задается кусочно: $y = \begin{cases} 5 - 2x, & \text{если } x < 2 \\ 1, & \text{если } 2 \le x < 3 \\ 2x - 5, & \text{если } x \ge 3 \end{cases}$
График состоит из луча прямой $y=5-2x$ до точки $(2, 1)$, горизонтального отрезка $y=1$ между точками $(2, 1)$ и $(3, 1)$, и луча прямой $y=2x-5$ от точки $(3, 1)$ и далее.

Теперь найдем точки пересечения с прямой $y=3$. Решим уравнение $y=3$ для каждого из трех интервалов.
1. При $x < 2$: $5 - 2x = 3 \implies 2x = 2 \implies x = 1$. Условие $x < 2$ выполняется.
2. При $2 \le x < 3$: $1 = 3$. Решений в этом интервале нет.
3. При $x \ge 3$: $2x - 5 = 3 \implies 2x = 8 \implies x = 4$. Условие $x \ge 3$ выполняется.
Таким образом, мы нашли две точки пересечения. Для $x=1$ $y=3$, и для $x=4$ $y=3$. Координаты точек: $(1, 3)$ и $(4, 3)$.

Ответ: График пересекает прямую $y=3$ в точках с координатами $(1, 3)$ и $(4, 3)$.

1005. Дана функция $y = x^2 - 2x - 3$.

1) Построить её график и найти значения $x$, при которых $y(x) < 0$.

2) Доказать, что функция возрастает на промежутке $[1; 4]$.

3) Найти значение $x$, при котором функция принимает наименьшее значение.

4) Найти значения $x$, при которых график функции $y = x^2 - 2x - 3$ лежит выше графика функции $y = -2x + 1$.

5) Записать уравнение касательной к параболе $y = x^2 - 2x - 3$ в точке с абсциссой, равной 2.

1) Построить её график и найти значения x, при которых y(x) < 0.

Данная функция $y = x^2 - 2x - 3$ является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем его ключевые точки:

Вершина параболы:

Абсцисса вершины находится по формуле $x_v = -b / (2a)$.

$x_v = -(-2) / (2 \cdot 1) = 2 / 2 = 1$.

Ордината вершины: $y_v = y(1) = 1^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -4)$.

Точки пересечения с осями координат:

С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = 0^2 - 2(0) - 3 = -3$. Точка пересечения — $(0, -3)$.

С осью Ox (при $y=0$): $x^2 - 2x - 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = (2 \pm \sqrt{16}) / 2 = (2 \pm 4) / 2$.

$x_1 = (2 - 4) / 2 = -1$.

$x_2 = (2 + 4) / 2 = 3$.

Точки пересечения с осью Ox — $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

Используя эти точки (вершина $(1, -4)$, пересечение с Oy $(0, -3)$, пересечения с Ox $(-1, 0)$ и $(3, 0)$), можно построить график параболы.

Найдём значения x, при которых $y(x) < 0$:

Это соответствует интервалам, на которых график функции лежит ниже оси Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, а её корни равны -1 и 3, функция принимает отрицательные значения между корнями.

Следовательно, $y(x) < 0$ при $-1 < x < 3$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(1, -4)$ и ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $x=-1$ и $x=3$. $y(x) < 0$ при $x \in (-1, 3)$.

2) Доказать, что функция возрастает на промежутке [1; 4].

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, найдем ее производную:

$y' = (x^2 - 2x - 3)' = 2x - 2$.

Функция возрастает, когда её производная положительна, то есть $y' > 0$.

$2x - 2 > 0$

$2x > 2$

$x > 1$

Производная равна нулю при $x=1$ (это точка экстремума — минимума). На промежутке $[1; 4]$ производная $y' = 2x - 2$ неотрицательна ($y' \ge 0$), так как для любого $x \in [1; 4]$ выполняется $x \ge 1$. Равенство нулю достигается только в одной точке $x=1$. Следовательно, на всем промежутке $[1; 4]$ функция является возрастающей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, так как производная функции $y' = 2x - 2$ неотрицательна на промежутке $[1; 4]$.

3) Найти значение x, при котором функция принимает наименьшее значение.

График функции $y = x^2 - 2x - 3$ — парабола с ветвями, направленными вверх. Свое наименьшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Абсцисса вершины $x_v$ была найдена в пункте 1:

$x_v = 1$.

Именно при этом значении $x$ функция достигает своего минимума.

Ответ: $x = 1$.

4) Найти значения x, при которых график функции $y = x^2 - 2x - 3$ лежит выше графика функции $y = -2x + 1$.

Условие "график функции лежит выше" означает, что значения первой функции должны быть больше значений второй. Запишем соответствующее неравенство:

$x^2 - 2x - 3 > -2x + 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 2x - 3 + 2x - 1 > 0$

$x^2 - 4 > 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 2)(x + 2) > 0$

Корнями соответствующего уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Методом интервалов (или анализируя параболу $z = x^2 - 4$) находим, что неравенство выполняется, когда $x$ находится за пределами корней.

Таким образом, $x < -2$ или $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

5) Записать уравнение касательной к параболе $y = x^2 - 2x - 3$ в точке с абсциссой, равной 2.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В нашем случае $f(x) = x^2 - 2x - 3$ и $x_0 = 2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:

$f(2) = 2^2 - 2(2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$.

Точка касания имеет координаты $(2, -3)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 2x - 3)' = 2x - 2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$ (это угловой коэффициент касательной):

$f'(2) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = -3 + 2(x - 2)$

$y = -3 + 2x - 4$

$y = 2x - 7$

Ответ: $y = 2x - 7$.