Номер 1005, страница 342 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1005, страница 342.

Условие.

1005. Дана функция $y = x^2 - 2x - 3$.

1) Построить её график и найти значения $x$, при которых $y(x) < 0$.

2) Доказать, что функция возрастает на промежутке $[1; 4]$.

3) Найти значение $x$, при котором функция принимает наименьшее значение.

4) Найти значения $x$, при которых график функции $y = x^2 - 2x - 3$ лежит выше графика функции $y = -2x + 1$.

5) Записать уравнение касательной к параболе $y = x^2 - 2x - 3$ в точке с абсциссой, равной 2.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Построить её график и найти значения x, при которых y(x) < 0.

Данная функция $y = x^2 - 2x - 3$ является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем его ключевые точки:

Вершина параболы:

Абсцисса вершины находится по формуле $x_v = -b / (2a)$.

$x_v = -(-2) / (2 \cdot 1) = 2 / 2 = 1$.

Ордината вершины: $y_v = y(1) = 1^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -4)$.

Точки пересечения с осями координат:

С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = 0^2 - 2(0) - 3 = -3$. Точка пересечения — $(0, -3)$.

С осью Ox (при $y=0$): $x^2 - 2x - 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = (2 \pm \sqrt{16}) / 2 = (2 \pm 4) / 2$.

$x_1 = (2 - 4) / 2 = -1$.

$x_2 = (2 + 4) / 2 = 3$.

Точки пересечения с осью Ox — $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

Используя эти точки (вершина $(1, -4)$, пересечение с Oy $(0, -3)$, пересечения с Ox $(-1, 0)$ и $(3, 0)$), можно построить график параболы.

Найдём значения x, при которых $y(x) < 0$:

Это соответствует интервалам, на которых график функции лежит ниже оси Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, а её корни равны -1 и 3, функция принимает отрицательные значения между корнями.

Следовательно, $y(x) < 0$ при $-1 < x < 3$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(1, -4)$ и ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $x=-1$ и $x=3$. $y(x) < 0$ при $x \in (-1, 3)$.

2) Доказать, что функция возрастает на промежутке [1; 4].

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, найдем ее производную:

$y' = (x^2 - 2x - 3)' = 2x - 2$.

Функция возрастает, когда её производная положительна, то есть $y' > 0$.

$2x - 2 > 0$

$2x > 2$

$x > 1$

Производная равна нулю при $x=1$ (это точка экстремума — минимума). На промежутке $[1; 4]$ производная $y' = 2x - 2$ неотрицательна ($y' \ge 0$), так как для любого $x \in [1; 4]$ выполняется $x \ge 1$. Равенство нулю достигается только в одной точке $x=1$. Следовательно, на всем промежутке $[1; 4]$ функция является возрастающей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, так как производная функции $y' = 2x - 2$ неотрицательна на промежутке $[1; 4]$.

3) Найти значение x, при котором функция принимает наименьшее значение.

График функции $y = x^2 - 2x - 3$ — парабола с ветвями, направленными вверх. Свое наименьшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Абсцисса вершины $x_v$ была найдена в пункте 1:

$x_v = 1$.

Именно при этом значении $x$ функция достигает своего минимума.

Ответ: $x = 1$.

4) Найти значения x, при которых график функции $y = x^2 - 2x - 3$ лежит выше графика функции $y = -2x + 1$.

Условие "график функции лежит выше" означает, что значения первой функции должны быть больше значений второй. Запишем соответствующее неравенство:

$x^2 - 2x - 3 > -2x + 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 2x - 3 + 2x - 1 > 0$

$x^2 - 4 > 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 2)(x + 2) > 0$

Корнями соответствующего уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Методом интервалов (или анализируя параболу $z = x^2 - 4$) находим, что неравенство выполняется, когда $x$ находится за пределами корней.

Таким образом, $x < -2$ или $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

5) Записать уравнение касательной к параболе $y = x^2 - 2x - 3$ в точке с абсциссой, равной 2.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В нашем случае $f(x) = x^2 - 2x - 3$ и $x_0 = 2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:

$f(2) = 2^2 - 2(2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$.

Точка касания имеет координаты $(2, -3)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 2x - 3)' = 2x - 2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$ (это угловой коэффициент касательной):

$f'(2) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = -3 + 2(x - 2)$

$y = -3 + 2x - 4$

$y = 2x - 7$

Ответ: $y = 2x - 7$.