Номер 1010, страница 344 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1010, страница 344.

Условие.

1010. Выяснить, пересекаются ли графики функций:

1) $y = x^2$ и $y = x+6;$

2) $y = \frac{3}{x}$ и $y = 4(x+1);$

3) $y = \frac{1}{8}x^2$ и $y = \frac{1}{x};$

4) $y = 2x-1$ и $y = \frac{1}{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы выяснить, пересекаются ли графики функций $y = x^2$ и $y = x + 6$, нужно найти, существуют ли значения $x$, для которых значения $y$ будут одинаковыми. Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 = x + 6$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - x - 6 = 0$

Для определения наличия действительных корней найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-6$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Поскольку $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что существуют два значения $x$, при которых графики функций пересекаются.

Ответ: графики пересекаются.

2) Рассмотрим функции $y = \frac{3}{x}$ и $y = 4(x + 1)$. Приравняем их правые части, учитывая, что область определения первой функции исключает $x=0$.

$\frac{3}{x} = 4(x + 1)$

Раскроем скобки в правой части:

$\frac{3}{x} = 4x + 4$

Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$3 = 4x^2 + 4x$

Перепишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$4x^2 + 4x - 3 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=4$, $b=4$, $c=-3$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$

Так как $D = 64 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, ни один из которых не равен нулю (подстановка $x=0$ дает $-3=0$, что неверно). Следовательно, графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: графики пересекаются.

3) Для функций $y = \frac{1}{8}x^2$ и $y = \frac{1}{x}$ найдем точки пересечения. Приравняем правые части уравнений. Заметим, что для функции $y = \frac{1}{x}$ значение $x$ не может быть равно нулю.

$\frac{1}{8}x^2 = \frac{1}{x}$

Умножим обе части уравнения на $8x$ (так как $x \neq 0$):

$x^3 = 8$

Это кубическое уравнение имеет один действительный корень:

$x = \sqrt[3]{8} = 2$

Так как существует действительное решение для $x$, графики функций пересекаются.

Ответ: графики пересекаются.

4) Проверим, пересекаются ли графики функций $y = 2x - 1$ и $y = \frac{1}{x}$. Область определения второй функции $x \neq 0$. Приравняем правые части:

$2x - 1 = \frac{1}{x}$

Умножим обе части на $x$ (при $x \neq 0$):

$x(2x - 1) = 1$

$2x^2 - x = 1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - x - 1 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=2$, $b=-1$, $c=-1$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Поскольку $D = 9 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня (которые не равны нулю, так как при $x=0$ получается $-1=0$). Значит, графики функций имеют две точки пересечения.

Ответ: графики пересекаются.