Номер 1013, страница 344 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1013, страница 344.

Условие.

1013. Выяснить, является ли чётной или нечётной функция:

1) $y = 2^x + 2^{-x}$;

2) $y = 3^x - 3^{-x}$;

3) $y = \ln \frac{3+x}{3-x}$;

4) $y = \left| \ln \frac{5+x}{5-x} \right|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы выяснить, является ли функция чётной или нечётной, необходимо следовать определению.
Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Область определения чётной функции симметрична относительно начала координат.
Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения нечётной функции также симметрична относительно начала координат.
Если область определения несимметрична или ни одно из равенств не выполняется, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).

1) $y = 2^x + 2^{-x}$

Обозначим данную функцию как $f(x) = 2^x + 2^{-x}$.
1. Найдём область определения функции $D(f)$. Так как показательная функция определена для любого действительного аргумента, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = 2^{-x} + 2^{-(-x)} = 2^{-x} + 2^x$.
Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = 2^x + 2^{-x} = f(x)$.
Поскольку выполняется условие $f(-x) = f(x)$, данная функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

2) $y = 3^x - 3^{-x}$

Обозначим данную функцию как $f(x) = 3^x - 3^{-x}$.
1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как, как и в предыдущем случае, показательная функция определена на всей числовой оси. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = 3^{-x} - 3^{-(-x)} = 3^{-x} - 3^x$.
Теперь вынесем знак минус за скобки:
$f(-x) = -( -3^{-x} + 3^x ) = -(3^x - 3^{-x})$.
Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = -f(x)$.
Поскольку выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

3) $y = \ln \frac{3+x}{3-x}$

Обозначим данную функцию как $f(x) = \ln \frac{3+x}{3-x}$.
1. Найдём область определения функции. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным:
$\frac{3+x}{3-x} > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x = -3$ и $x = 3$. Они разбивают числовую ось на три интервала. Проверив знаки на каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-3; 3)$. Эта область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = \ln \frac{3+(-x)}{3-(-x)} = \ln \frac{3-x}{3+x}$.
Воспользуемся свойством логарифма $\ln(a/b) = -\ln(b/a)$:
$f(-x) = \ln \left( \left( \frac{3+x}{3-x} \right)^{-1} \right) = -1 \cdot \ln \frac{3+x}{3-x} = -f(x)$.
Поскольку выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

4) $y = \left| \ln \frac{5+x}{5-x} \right|$

Обозначим данную функцию как $f(x) = \left| \ln \frac{5+x}{5-x} \right|$.
1. Найдём область определения. Выражение под знаком логарифма должно быть положительным (знак модуля на это не влияет):
$\frac{5+x}{5-x} > 0$.
Решая неравенство методом интервалов (корни $x = -5$ и $x = 5$), получаем $x \in (-5; 5)$. Эта область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = \left| \ln \frac{5+(-x)}{5-(-x)} \right| = \left| \ln \frac{5-x}{5+x} \right|$.
Используем свойство логарифма $\ln(a/b) = -\ln(b/a)$:
$f(-x) = \left| - \ln \frac{5+x}{5-x} \right|$.
Теперь воспользуемся свойством модуля $|-a| = |a|$:
$f(-x) = \left| \ln \frac{5+x}{5-x} \right| = f(x)$.
Поскольку выполняется условие $f(-x) = f(x)$, данная функция является чётной.
Ответ: функция чётная.