Номер 1019, страница 345 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1019, страница 345.

Условие.

1019. 1) $y = \cos 3x;$

2) $y = \sin \frac{x}{5};$

3) $y = \operatorname{tg} 5x;$

4) $y = \sin x + \operatorname{tg} x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения наименьшего положительного периода функции вида $y = f(kx+b)$ используется формула $T_{new} = \frac{T}{|k|}$, где $T$ — основной период функции $y = f(x)$.

Дана функция $y = \cos(3x)$. Основной период функции $y = \cos(x)$ равен $T = 2\pi$.

В данном случае коэффициент $k = 3$.

Следовательно, наименьший положительный период для $y = \cos(3x)$ равен:

$T_1 = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

2) Дана функция $y = \sin\frac{x}{5}$.

Основной период функции $y = \sin(x)$ равен $T = 2\pi$.

Функцию можно представить в виде $y = \sin(\frac{1}{5}x)$, где коэффициент $k = \frac{1}{5}$.

Применяем формулу для нахождения периода: $T_{new} = \frac{T}{|k|}$.

$T_2 = \frac{2\pi}{|\frac{1}{5}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{5}} = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$

Ответ: $10\pi$

3) Дана функция $y = \operatorname{tg} 5x$.

Основной период функции $y = \operatorname{tg}(x)$ равен $T = \pi$.

Для функции $y = \operatorname{tg}(5x)$ коэффициент $k = 5$.

Находим период по формуле $T_{new} = \frac{T}{|k|}$.

$T_3 = \frac{\pi}{|5|} = \frac{\pi}{5}$

Ответ: $\frac{\pi}{5}$

4) Дана функция $y = \sin x + \operatorname{tg} x$. Эта функция является суммой двух периодических функций: $f(x) = \sin x$ и $g(x) = \operatorname{tg} x$.

Чтобы найти наименьший положительный период такой функции, нужно найти периоды каждой из функций-слагаемых, а затем найти их наименьшее общее кратное (НОК).

Период функции $f(x) = \sin x$ равен $T_f = 2\pi$.

Период функции $g(x) = \operatorname{tg} x$ равен $T_g = \pi$.

Теперь найдем наименьшее общее кратное этих периодов: НОК($T_f, T_g$) = НОК($2\pi, \pi$).

Поскольку $2\pi$ делится нацело на $\pi$ ($2\pi = 2 \cdot \pi$), то наименьшим общим кратным является большее из чисел, то есть $2\pi$.

Проверим, является ли $2\pi$ периодом исходной функции: $y(x+2\pi) = \sin(x+2\pi) + \operatorname{tg}(x+2\pi) = \sin x + \operatorname{tg} x = y(x)$. Равенство выполняется, значит $2\pi$ — это период. Так как это наименьшее общее кратное, то это и есть наименьший положительный период.

Ответ: $2\pi$