Номер 944, страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 944, страница 336.
№944 (с. 336)
Условие. №944 (с. 336)
скриншот условия

944. 1) $\frac{x}{y} + x^4y = \frac{1}{xy^2} + x^2,$
$\frac{1}{x} + x^2y^2 + 4y^2 = 0;$
2) $x + \frac{1}{x^3y^3} = x^3y + \frac{1}{xy^2},$
$\frac{1}{x} + x^3y^3 + 10y^2 = 0.$
Решение 1. №944 (с. 336)


Решение 2. №944 (с. 336)


Решение 3. №944 (с. 336)
1)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x}{y} + x^4y = \frac{1}{xy^2} + x^2, \\ \frac{1}{x} + x^2y^2 + 4y^2 = 0; \end{cases} $
Область допустимых значений: $x \ne 0$, $y \ne 0$.
Преобразуем первое уравнение системы. Перенесем члены из правой части в левую и сгруппируем их:
$\left(\frac{x}{y} - \frac{1}{xy^2}\right) + (x^4y - x^2) = 0$
Приведем к общему знаменателю в первой скобке и вынесем общий множитель во второй:
$\frac{x^2y - 1}{xy^2} + x^2(x^2y - 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(x^2y - 1)$ за скобки:
$(x^2y - 1)\left(\frac{1}{xy^2} + x^2\right) = 0$
Это уравнение распадается на два случая:
Случай 1: $x^2y - 1 = 0 \implies x^2y = 1$.
Случай 2: $\frac{1}{xy^2} + x^2 = 0 \implies x^3y^2 = -1$.
Рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя полученные соотношения во второе уравнение системы: $\frac{1}{x} + x^2y^2 + 4y^2 = 0$.
Разбор Случая 1: $x^2y = 1$
Из этого соотношения выразим $y = \frac{1}{x^2}$. Тогда $x^2y^2 = (x^2y)y = 1 \cdot y = y$.
Подставим это во второе уравнение:
$\frac{1}{x} + y + 4y^2 = 0$
Теперь заменим $y$ на $\frac{1}{x^2}$:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + 4\left(\frac{1}{x^2}\right)^2 = 0$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{4}{x^4} = 0$
Умножим обе части уравнения на $x^4$ (так как $x \ne 0$):
$x^3 + x^2 + 4 = 0$
Это кубическое уравнение. Найдем его целые корни среди делителей свободного члена (числа 4): $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.
Проверкой убеждаемся, что $x = -2$ является корнем: $(-2)^3 + (-2)^2 + 4 = -8 + 4 + 4 = 0$.
Разделим многочлен $x^3 + x^2 + 4$ на $(x+2)$:
$(x+2)(x^2 - x + 2) = 0$.
Дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - x + 2$ равен $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0$, поэтому других действительных корней нет.
Единственный действительный корень — $x = -2$.
Найдем соответствующее значение $y$: $y = \frac{1}{x^2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$.
Таким образом, мы получили решение $(-2, \frac{1}{4})$.
Разбор Случая 2: $x^3y^2 = -1$
Из этого соотношения имеем $x^2y^2 = -\frac{1}{x}$.
Подставим это во второе уравнение системы: $\frac{1}{x} + x^2y^2 + 4y^2 = 0$.
$\frac{1}{x} + \left(-\frac{1}{x}\right) + 4y^2 = 0$
$4y^2 = 0 \implies y = 0$.
Это противоречит области допустимых значений ($y \ne 0$). Следовательно, в этом случае решений нет.
Единственным решением системы является пара чисел, найденная в первом случае.
Ответ: $(-2, \frac{1}{4})$.
2)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + \frac{1}{x^3y^3} = x^3y + \frac{1}{xy^2}, \\ \frac{1}{x} + x^3y^3 + 10y^2 = 0. \end{cases} $
Область допустимых значений: $x \ne 0$, $y \ne 0$.
Преобразуем первое уравнение, сгруппировав члены:
$x - x^3y = \frac{1}{xy^2} - \frac{1}{x^3y^3}$
Вынесем общие множители:
$x(1 - x^2y) = \frac{x^2y - 1}{x^3y^3}$
$x(1 - x^2y) = -\frac{1 - x^2y}{x^3y^3}$
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(1 - x^2y)$:
$(1 - x^2y)\left(x + \frac{1}{x^3y^3}\right) = 0$
Это уравнение также распадается на два случая:
Случай 1: $1 - x^2y = 0 \implies x^2y = 1$.
Случай 2: $x + \frac{1}{x^3y^3} = 0 \implies x^4y^3 = -1$.
Рассмотрим каждый случай, подставляя во второе уравнение: $\frac{1}{x} + x^3y^3 + 10y^2 = 0$.
Разбор Случая 1: $x^2y = 1$
Из этого соотношения $y = \frac{1}{x^2}$.
Тогда $x^3y^3 = x^3 \left(\frac{1}{x^2}\right)^3 = x^3 \cdot \frac{1}{x^6} = \frac{1}{x^3}$.
И $y^2 = \left(\frac{1}{x^2}\right)^2 = \frac{1}{x^4}$.
Подставим эти выражения во второе уравнение:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + 10\left(\frac{1}{x^4}\right) = 0$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{10}{x^4} = 0$
Умножим обе части на $x^4$ (так как $x \ne 0$):
$x^3 + x + 10 = 0$
Это кубическое уравнение. Целые корни ищем среди делителей числа 10: $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$.
Проверкой находим корень $x = -2$: $(-2)^3 + (-2) + 10 = -8 - 2 + 10 = 0$.
Разделим многочлен $x^3 + x + 10$ на $(x+2)$:
$(x+2)(x^2 - 2x + 5) = 0$.
Дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 2x + 5$ равен $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$, поэтому других действительных корней нет.
Единственный действительный корень — $x = -2$.
Найдем $y$: $y = \frac{1}{x^2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$.
Получено решение $(-2, \frac{1}{4})$.
Разбор Случая 2: $x^4y^3 = -1$
Из этого соотношения $x^3y^3 = -\frac{1}{x}$.
Подставим это во второе уравнение системы: $\frac{1}{x} + x^3y^3 + 10y^2 = 0$.
$\frac{1}{x} + \left(-\frac{1}{x}\right) + 10y^2 = 0$
$10y^2 = 0 \implies y = 0$.
Это противоречит ОДЗ ($y \ne 0$), значит, в этом случае решений нет.
Таким образом, единственным решением системы является пара чисел, найденная в первом случае.
Ответ: $(-2, \frac{1}{4})$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 944 расположенного на странице 336 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №944 (с. 336), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.