Номер 944, страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 944, страница 336.

Условие.

944. 1) $\frac{x}{y} + x^4y = \frac{1}{xy^2} + x^2,$
$\frac{1}{x} + x^2y^2 + 4y^2 = 0;$

2) $x + \frac{1}{x^3y^3} = x^3y + \frac{1}{xy^2},$
$\frac{1}{x} + x^3y^3 + 10y^2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} + x^4y = \frac{1}{xy^2} + x^2, \\ \frac{1}{x} + x^2y^2 + 4y^2 = 0; \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \ne 0$, $y \ne 0$.

Преобразуем первое уравнение системы. Перенесем члены из правой части в левую и сгруппируем их:

$\left(\frac{x}{y} - \frac{1}{xy^2}\right) + (x^4y - x^2) = 0$

Приведем к общему знаменателю в первой скобке и вынесем общий множитель во второй:

$\frac{x^2y - 1}{xy^2} + x^2(x^2y - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x^2y - 1)$ за скобки:

$(x^2y - 1)\left(\frac{1}{xy^2} + x^2\right) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:

Случай 1: $x^2y - 1 = 0 \implies x^2y = 1$.

Случай 2: $\frac{1}{xy^2} + x^2 = 0 \implies x^3y^2 = -1$.

Рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя полученные соотношения во второе уравнение системы: $\frac{1}{x} + x^2y^2 + 4y^2 = 0$.

Разбор Случая 1: $x^2y = 1$

Из этого соотношения выразим $y = \frac{1}{x^2}$. Тогда $x^2y^2 = (x^2y)y = 1 \cdot y = y$.
Подставим это во второе уравнение:

$\frac{1}{x} + y + 4y^2 = 0$

Теперь заменим $y$ на $\frac{1}{x^2}$:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + 4\left(\frac{1}{x^2}\right)^2 = 0$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{4}{x^4} = 0$

Умножим обе части уравнения на $x^4$ (так как $x \ne 0$):

$x^3 + x^2 + 4 = 0$

Это кубическое уравнение. Найдем его целые корни среди делителей свободного члена (числа 4): $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.
Проверкой убеждаемся, что $x = -2$ является корнем: $(-2)^3 + (-2)^2 + 4 = -8 + 4 + 4 = 0$.
Разделим многочлен $x^3 + x^2 + 4$ на $(x+2)$:
$(x+2)(x^2 - x + 2) = 0$.
Дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - x + 2$ равен $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0$, поэтому других действительных корней нет.
Единственный действительный корень — $x = -2$.
Найдем соответствующее значение $y$: $y = \frac{1}{x^2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$.
Таким образом, мы получили решение $(-2, \frac{1}{4})$.

Разбор Случая 2: $x^3y^2 = -1$

Из этого соотношения имеем $x^2y^2 = -\frac{1}{x}$.
Подставим это во второе уравнение системы: $\frac{1}{x} + x^2y^2 + 4y^2 = 0$.

$\frac{1}{x} + \left(-\frac{1}{x}\right) + 4y^2 = 0$

$4y^2 = 0 \implies y = 0$.

Это противоречит области допустимых значений ($y \ne 0$). Следовательно, в этом случае решений нет.

Единственным решением системы является пара чисел, найденная в первом случае.

Ответ: $(-2, \frac{1}{4})$.

---

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + \frac{1}{x^3y^3} = x^3y + \frac{1}{xy^2}, \\ \frac{1}{x} + x^3y^3 + 10y^2 = 0. \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \ne 0$, $y \ne 0$.

Преобразуем первое уравнение, сгруппировав члены:

$x - x^3y = \frac{1}{xy^2} - \frac{1}{x^3y^3}$

Вынесем общие множители:

$x(1 - x^2y) = \frac{x^2y - 1}{x^3y^3}$

$x(1 - x^2y) = -\frac{1 - x^2y}{x^3y^3}$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(1 - x^2y)$:

$(1 - x^2y)\left(x + \frac{1}{x^3y^3}\right) = 0$

Это уравнение также распадается на два случая:

Случай 1: $1 - x^2y = 0 \implies x^2y = 1$.

Случай 2: $x + \frac{1}{x^3y^3} = 0 \implies x^4y^3 = -1$.

Рассмотрим каждый случай, подставляя во второе уравнение: $\frac{1}{x} + x^3y^3 + 10y^2 = 0$.

Разбор Случая 1: $x^2y = 1$

Из этого соотношения $y = \frac{1}{x^2}$.
Тогда $x^3y^3 = x^3 \left(\frac{1}{x^2}\right)^3 = x^3 \cdot \frac{1}{x^6} = \frac{1}{x^3}$.
И $y^2 = \left(\frac{1}{x^2}\right)^2 = \frac{1}{x^4}$.
Подставим эти выражения во второе уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + 10\left(\frac{1}{x^4}\right) = 0$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{10}{x^4} = 0$

Умножим обе части на $x^4$ (так как $x \ne 0$):

$x^3 + x + 10 = 0$

Это кубическое уравнение. Целые корни ищем среди делителей числа 10: $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$.
Проверкой находим корень $x = -2$: $(-2)^3 + (-2) + 10 = -8 - 2 + 10 = 0$.
Разделим многочлен $x^3 + x + 10$ на $(x+2)$:
$(x+2)(x^2 - 2x + 5) = 0$.
Дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 2x + 5$ равен $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$, поэтому других действительных корней нет.
Единственный действительный корень — $x = -2$.
Найдем $y$: $y = \frac{1}{x^2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$.
Получено решение $(-2, \frac{1}{4})$.

Разбор Случая 2: $x^4y^3 = -1$

Из этого соотношения $x^3y^3 = -\frac{1}{x}$.
Подставим это во второе уравнение системы: $\frac{1}{x} + x^3y^3 + 10y^2 = 0$.

$\frac{1}{x} + \left(-\frac{1}{x}\right) + 10y^2 = 0$

$10y^2 = 0 \implies y = 0$.

Это противоречит ОДЗ ($y \ne 0$), значит, в этом случае решений нет.

Таким образом, единственным решением системы является пара чисел, найденная в первом случае.

Ответ: $(-2, \frac{1}{4})$.