Номер 950, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 950, страница 337.

Условие.

Решить систему уравнений (950—956).

950. 1) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 16, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 19. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 16 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2 \end{cases} $$ Область допустимых значений для переменных: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Данная система является линейной относительно переменных $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$. Для ее решения воспользуемся методом сложения. Сложим первое и второе уравнения системы: $$ (\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 16 + 2 $$ $$ 2\sqrt{x} = 18 $$ $$ \sqrt{x} = 9 $$ Чтобы найти значение $x$, возведем обе части последнего равенства в квадрат: $$ x = 9^2 = 81 $$ Теперь подставим найденное значение $\sqrt{x} = 9$ в первое уравнение исходной системы: $$ 9 + \sqrt{y} = 16 $$ Выразим $\sqrt{y}$: $$ \sqrt{y} = 16 - 9 $$ $$ \sqrt{y} = 7 $$ Чтобы найти значение $y$, возведем обе части в квадрат: $$ y = 7^2 = 49 $$ Таким образом, решение системы — пара чисел $(81; 49)$. Выполним проверку:
$\sqrt{81} + \sqrt{49} = 9 + 7 = 16$ — верно.
$\sqrt{81} - \sqrt{49} = 9 - 7 = 2$ — верно.

Ответ: $(81; 49)$.

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 19 \end{cases} $$ Область допустимых значений для переменных: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Как и в предыдущем случае, применим метод сложения. Сложим первое и второе уравнения: $$ (\sqrt{x} - \sqrt{y}) + (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 1 + 19 $$ $$ 2\sqrt{x} = 20 $$ $$ \sqrt{x} = 10 $$ Найдем $x$, возведя обе части в квадрат: $$ x = 10^2 = 100 $$ Подставим значение $\sqrt{x} = 10$ во второе уравнение системы: $$ 10 + \sqrt{y} = 19 $$ Выразим $\sqrt{y}$: $$ \sqrt{y} = 19 - 10 $$ $$ \sqrt{y} = 9 $$ Найдем $y$, возведя обе части в квадрат: $$ y = 9^2 = 81 $$ Решением системы является пара чисел $(100; 81)$. Проверим это:
$\sqrt{100} - \sqrt{81} = 10 - 9 = 1$ — верно.
$\sqrt{100} + \sqrt{81} = 10 + 9 = 19$ — верно.

Ответ: $(100; 81)$.