Номер 956, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 956, страница 337.

Условие.

956. 1) $ \begin{cases} \sin x \cos y = -\frac{1}{2}, \\ \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} y = 1; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{4}, \\ 3 \operatorname{tg} x = \operatorname{ctg} y. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x \cos y = -\frac{1}{2}, \\ \text{tg}x \cdot \text{ctg}y = 1. \end{cases} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Для существования $\text{tg}x$ необходимо, чтобы $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$. Для существования $\text{ctg}y$ необходимо, чтобы $\sin y \neq 0$, то есть $y \neq m\pi, m \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем второе уравнение системы. Если $\text{ctg}y \neq 0$, то его можно переписать в виде $\text{tg}x = \frac{1}{\text{ctg}y}$, что равносильно $\text{tg}x = \text{tg}y$. Это условие выполняется, когда $x = y + n\pi$ для любого целого числа $n$.

Другой способ преобразования второго уравнения: $\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos y}{\sin y} = 1$, что приводит к $\sin x \cos y = \cos x \sin y$. Перенося все в левую часть, получаем $\sin x \cos y - \cos x \sin y = 0$, что является формулой синуса разности: $\sin(x-y) = 0$. Отсюда следует, что $x - y = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь воспользуемся первым уравнением системы и тригонометрической формулой суммы и разности синусов: $2\sin x \cos y = \sin(x+y) + \sin(x-y)$.

Подставим известные значения:

$2 \cdot (-\frac{1}{2}) = \sin(x+y) + \sin(x-y)$

$-1 = \sin(x+y) + \sin(n\pi)$

Так как $\sin(n\pi) = 0$ для любого целого $n$, получаем:

$\sin(x+y) = -1$

Это уравнение имеет решение: $x+y = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, исходная система свелась к системе линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$ \begin{cases} x - y = n\pi, \\ x + y = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi. \end{cases} $ (где $n, k \in \mathbb{Z}$)

Сложим эти два уравнения:

$2x = n\pi - \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi$

Вычтем первое уравнение из второго:

$2y = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi - n\pi \implies y = -\frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi$

Эти формулы представляют общее решение системы. Можно заметить, что решение зависит от четности $n$.

• Если $n$ четное ($n=2p, p \in \mathbb{Z}$), то:
  $x = \frac{2p\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi = p\pi - \frac{\pi}{4} + k\pi = (k+p)\pi - \frac{\pi}{4}$
  $y = -\frac{2p\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi = -p\pi - \frac{\pi}{4} + k\pi = (k-p)\pi - \frac{\pi}{4}$
  В этом случае $x$ и $y$ имеют вид $N\pi - \frac{\pi}{4}$.
• Если $n$ нечетное ($n=2p+1, p \in \mathbb{Z}$), то:
  $x = \frac{(2p+1)\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi = p\pi + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi = (k+p)\pi + \frac{\pi}{4}$
  $y = -\frac{(2p+1)\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi = -p\pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi = (k-p)\pi - \frac{3\pi}{4}$
  В этом случае $x$ имеет вид $N\pi + \frac{\pi}{4}$, а $y$ имеет вид $M\pi - \frac{3\pi}{4}$.

Полученные решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = k\pi - \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}, y = k\pi - \frac{\pi}{4} - \frac{n\pi}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{4}, \\ 3\text{tg}x = \text{ctg}y. \end{cases} $

ОДЗ: $\cos x \neq 0$ ($x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$) и $\sin y \neq 0$ ($y \neq m\pi$).

Преобразуем второе уравнение, используя определения тангенса и котангенса:

$3\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos y}{\sin y}$

Умножим обе части на $\cos x \sin y$ (что не равно нулю в силу ОДЗ):

$3\sin x \sin y = \cos x \cos y$

Из первого уравнения системы известно, что $\sin x \sin y = \frac{1}{4}$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$3 \cdot \frac{1}{4} = \cos x \cos y \implies \cos x \cos y = \frac{3}{4}$

Теперь исходная система эквивалентна следующей системе:

$ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{4}, \\ \cos x \cos y = \frac{3}{4}. \end{cases} $

Воспользуемся формулами косинуса суммы и разности углов:

$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

Подставим в них полученные значения:

$\cos(x-y) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$

$\cos(x+y) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Из этих двух уравнений находим выражения для $x-y$ и $x+y$:

Из $\cos(x-y) = 1$ следует, что $x-y = 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из $\cos(x+y) = \frac{1}{2}$ следует, что $x+y = \pm \frac{\pi}{3} + 2m\pi$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Это приводит к двум системам линейных уравнений.

Случай 1:

$ \begin{cases} x - y = 2k\pi \\ x + y = \frac{\pi}{3} + 2m\pi \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем $2x = \frac{\pi}{3} + 2(k+m)\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + (k+m)\pi$.

Вычитая первое из второго, получаем $2y = \frac{\pi}{3} + 2(m-k)\pi \implies y = \frac{\pi}{6} + (m-k)\pi$.

Случай 2:

$ \begin{cases} x - y = 2k\pi \\ x + y = -\frac{\pi}{3} + 2m\pi \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем $2x = -\frac{\pi}{3} + 2(k+m)\pi \implies x = -\frac{\pi}{6} + (k+m)\pi$.

Вычитая первое из второго, получаем $2y = -\frac{\pi}{3} + 2(m-k)\pi \implies y = -\frac{\pi}{6} + (m-k)\pi$.

Объединим решения. Обозначим $n = k+m$ и $l = m-k$. Поскольку $n-l = (k+m) - (m-k) = 2k$, разность $n-l$ всегда является четным числом, что означает, что $n$ и $l$ имеют одинаковую четность.

Ответ: $(x, y) = (\frac{\pi}{6} + n\pi, \frac{\pi}{6} + l\pi)$ и $(x, y) = (-\frac{\pi}{6} + n\pi, -\frac{\pi}{6} + l\pi)$, где $n, l \in \mathbb{Z}$ и имеют одинаковую четность (т.е. $n-l$ — четное число).