Номер 961, страница 338 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 961, страница 338.

Условие.

Решить систему уравнений (961–963).

961. 1) $$\begin{cases} x^y = y^x \\ x^3 = y^2 \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} x^{\sqrt{y}} = y \\ y^{\sqrt{y}} = x^4 \end{cases}$$

3) $$\begin{cases} \sqrt{2} \sin x = \sin y \\ \sqrt{2} \cos x = \sqrt{3} \cos y \end{cases}$$

4) $$\begin{cases} x - y = -\frac{1}{3} \\ \cos^2 \pi x - \sin^2 \pi y = \frac{1}{2} \end{cases}$$

5) $$\begin{cases} \cos x \sin y = \frac{1}{2} \\ \sin 2x + \sin 2y = 0 \end{cases}$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана система уравнений: $\begin{cases} x^y = y^x \\ x^3 = y^2 \end{cases}$.
Из второго уравнения следует, что $x^3 = y^2 \ge 0$, поэтому $x \ge 0$. Если $x=0$, то $y=0$, но выражение $0^0$ не определено. Следовательно, $x > 0$ и, соответственно, $y > 0$.
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = \sqrt{x^3} = x^{3/2}$ (берем положительный корень, так как $y>0$).
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^{(x^{3/2})} = (x^{3/2})^x$
$x^{x^{3/2}} = x^{\frac{3}{2}x}$
Это равенство верно в двух случаях:
1) Основание $x=1$. Если $x=1$, то $y = 1^{3/2} = 1$. Пара $(1; 1)$ является решением: $1^1 = 1^1$ и $1^3 = 1^2$.
2) Показатели степеней равны: $x^{3/2} = \frac{3}{2}x$.
Так как $x>0$, мы можем разделить обе части на $x$:
$x^{3/2-1} = \frac{3}{2}$
$x^{1/2} = \frac{3}{2}$
$\sqrt{x} = \frac{3}{2}$
Возведя в квадрат, получаем $x = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.
Найдем соответствующее значение $y$:
$y = x^{3/2} = (\frac{9}{4})^{3/2} = ((\frac{3}{2})^2)^{3/2} = (\frac{3}{2})^3 = \frac{27}{8}$.
Проверим пару $(\frac{9}{4}; \frac{27}{8})$. Второе уравнение: $(\frac{9}{4})^3 = \frac{729}{64}$ и $(\frac{27}{8})^2 = \frac{729}{64}$, что верно. Первое уравнение: $(\frac{9}{4})^{\frac{27}{8}} = ((\frac{3}{2})^2)^{\frac{27}{8}} = (\frac{3}{2})^{\frac{27}{4}}$. И $(\frac{27}{8})^{\frac{9}{4}} = ((\frac{3}{2})^3)^{\frac{9}{4}} = (\frac{3}{2})^{\frac{27}{4}}$, что также верно.
Ответ: $(1; 1)$, $(\frac{9}{4}; \frac{27}{8})$.

2) Дана система уравнений: $\begin{cases} x^{\sqrt{y}} = y \\ y^{\sqrt{y}} = x^4 \end{cases}$.
Переменные $x$ и $y$ должны быть положительными.
Из второго уравнения выразим $y$: $y = (x^4)^{1/\sqrt{y}} = x^{4/\sqrt{y}}$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^{\sqrt{y}} = x^{4/\sqrt{y}}$.
Это равенство возможно, если:
1) Основание $x=1$. Подставляя в первое уравнение, получаем $1^{\sqrt{y}} = y$, откуда $y=1$. Решение $(1; 1)$ удовлетворяет обоим уравнениям.
2) Показатели степеней равны: $\sqrt{y} = \frac{4}{\sqrt{y}}$.
Умножим обе части на $\sqrt{y}$ (что возможно, так как $y>0$):
$(\sqrt{y})^2 = 4$, откуда $y=4$.
Найдем $x$ из первого уравнения: $x^{\sqrt{4}} = 4$, то есть $x^2 = 4$. Так как $x>0$, получаем $x=2$.
Проверим решение $(2; 4)$ во втором уравнении: $4^{\sqrt{4}} = 2^4$, или $4^2=16$, что верно.
Ответ: $(1; 1)$, $(2; 4)$.

3) Дана система уравнений: $\begin{cases} \sqrt{2}\sin x = \sin y \\ \sqrt{2}\cos x = \sqrt{3}\cos y \end{cases}$.
Возведем оба уравнения в квадрат:
$\begin{cases} 2\sin^2 x = \sin^2 y \\ 2\cos^2 x = 3\cos^2 y \end{cases}$.
Сложим эти уравнения:
$2(\sin^2 x + \cos^2 x) = \sin^2 y + 3\cos^2 y$
$2 = \sin^2 y + 3(1-\sin^2 y) = 3 - 2\sin^2 y$
$2\sin^2 y = 1 \implies \sin^2 y = \frac{1}{2} \implies \sin y = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Тогда $\cos^2 y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \implies \cos y = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Из первого исходного уравнения $\sin x = \frac{\sin y}{\sqrt{2}} = \frac{\pm\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}} = \pm\frac{1}{2}$.
Тогда $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \implies \cos x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Исходные уравнения показывают, что знаки $\sin x$ и $\sin y$ должны совпадать, а также знаки $\cos x$ и $\cos y$. Это приводит к четырем наборам решений:
1. $\sin x = \frac{1}{2}, \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin y = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$, $y = \frac{\pi}{4} + 2n\pi$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.
2. $\sin x = \frac{1}{2}, \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin y = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, $y = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.
3. $\sin x = -\frac{1}{2}, \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin y = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \cos y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$, $y = -\frac{\pi}{4} + 2n\pi$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.
4. $\sin x = -\frac{1}{2}, \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin y = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \cos y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$, $y = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $( \frac{\pi}{6} + 2k\pi; \frac{\pi}{4} + 2n\pi )$, $( \frac{5\pi}{6} + 2k\pi; \frac{3\pi}{4} + 2n\pi )$, $( -\frac{\pi}{6} + 2k\pi; -\frac{\pi}{4} + 2n\pi )$, $( \frac{7\pi}{6} + 2k\pi; \frac{5\pi}{4} + 2n\pi )$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дана система уравнений: $\begin{cases} x - y = -\frac{1}{3} \\ \cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi y) = \frac{1}{2} \end{cases}$.
Из первого уравнения $y = x + \frac{1}{3}$. Подставим во второе:
$\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi(x + \frac{1}{3})) = \frac{1}{2}$.
Используем формулы понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$ и $\sin^2 \alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$.
$\frac{1+\cos(2\pi x)}{2} - \frac{1-\cos(2\pi(x+\frac{1}{3}))}{2} = \frac{1}{2}$.
$1+\cos(2\pi x) - 1+\cos(2\pi x + \frac{2\pi}{3}) = 1$.
$\cos(2\pi x) + \cos(2\pi x + \frac{2\pi}{3}) = 1$.
Применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:
$2\cos(\frac{2\pi x + 2\pi x + 2\pi/3}{2})\cos(\frac{2\pi x + 2\pi/3 - 2\pi x}{2}) = 1$.
$2\cos(2\pi x + \frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{3}) = 1$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$:
$2\cos(2\pi x + \frac{\pi}{3}) \cdot \frac{1}{2} = 1$.
$\cos(2\pi x + \frac{\pi}{3}) = 1$.
$2\pi x + \frac{\pi}{3} = 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$2\pi x = 2k\pi - \frac{\pi}{3}$.
$x = k - \frac{1}{6}$.
Тогда $y = x + \frac{1}{3} = (k - \frac{1}{6}) + \frac{1}{3} = k + \frac{1}{6}$.
Ответ: $(k - \frac{1}{6}; k + \frac{1}{6})$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5) Дана система уравнений: $\begin{cases} \cos x \sin y = \frac{1}{2} \\ \sin(2x) + \sin(2y) = 0 \end{cases}$.
Преобразуем второе уравнение по формуле суммы синусов:
$2\sin(\frac{2x+2y}{2})\cos(\frac{2x-2y}{2}) = 0 \implies 2\sin(x+y)\cos(x-y) = 0$.
Это дает два случая: $\sin(x+y)=0$ или $\cos(x-y)=0$.
Преобразуем первое уравнение по формуле произведения синуса на косинус:
$\frac{1}{2}[\sin(y+x) - \sin(y-x)] = \frac{1}{2} \implies \sin(x+y) + \sin(x-y) = 1$.
Теперь рассмотрим два случая:
1) $\sin(x+y)=0$. Подставляя в преобразованное первое уравнение, получаем $0 + \sin(x-y) = 1 \implies \sin(x-y) = 1$.
Имеем систему:
$\begin{cases} x+y = k\pi \\ x-y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \end{cases}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.
Складывая и вычитая уравнения, находим $x$ и $y$:
$2x = k\pi + \frac{\pi}{2} + 2n\pi \implies x = \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + n\pi$.
$2y = k\pi - \frac{\pi}{2} - 2n\pi \implies y = \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - n\pi$.
2) $\cos(x-y)=0$. Это означает $x-y = \frac{\pi}{2} + m\pi$. Тогда $\sin(x-y) = \sin(\frac{\pi}{2} + m\pi) = \cos(m\pi) = (-1)^m$.
Подставляя в $\sin(x+y) + \sin(x-y) = 1$, получаем $\sin(x+y) + (-1)^m = 1$.
Если $m$ четное, $\sin(x+y)+1=1 \implies \sin(x+y)=0$. Этот случай совпадает с рассмотренным выше.
Если $m$ нечетное, $\sin(x+y)-1=1 \implies \sin(x+y)=2$, что невозможно.
Итак, решения есть только в первом случае. Разберем их в зависимости от четности $k$:
а) $k$ - четное, $k=2p$:
$x = p\pi + \frac{\pi}{4} + n\pi = \frac{\pi}{4} + (p+n)\pi$.
$y = p\pi - \frac{\pi}{4} - n\pi = -\frac{\pi}{4} + (p-n)\pi$.
Обозначим $N = p+n, K = p-n$. Тогда $N+K = 2p$ (четное), значит $N$ и $K$ имеют одинаковую четность.
Решения: $x = \frac{\pi}{4} + N\pi, y = -\frac{\pi}{4} + K\pi$, где $N,K \in \mathbb{Z}$ и $N \equiv K \pmod 2$.
б) $k$ - нечетное, $k=2p+1$:
$x = \frac{(2p+1)\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + n\pi = p\pi + \frac{3\pi}{4} + n\pi = \frac{3\pi}{4} + (p+n)\pi$.
$y = \frac{(2p+1)\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - n\pi = p\pi + \frac{\pi}{4} - n\pi = \frac{\pi}{4} + (p-n)\pi$.
Обозначим $N = p+n, K = p-n$. Тогда $N+K = 2p$ (четное), значит $N$ и $K$ имеют одинаковую четность.
Решения: $x = \frac{3\pi}{4} + N\pi, y = \frac{\pi}{4} + K\pi$, где $N,K \in \mathbb{Z}$ и $N \equiv K \pmod 2$.
Ответ: $( \frac{\pi}{4} + N\pi; -\frac{\pi}{4} + K\pi )$, где $N,K \in \mathbb{Z}, N \equiv K \pmod 2$;
$( \frac{3\pi}{4} + N\pi; \frac{\pi}{4} + K\pi )$, где $N,K \in \mathbb{Z}, N \equiv K \pmod 2$.