Номер 967, страница 339 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 967, страница 339.

Условие.

967. Теплоход должен был пройти некоторое расстояние за 2,25 суток, но оказалось, что он проходил за каждый час на 2,5 км больше, чем предполагалось, а потому прошёл намеченный путь за 2 суток. Какое расстояние должен был пройти теплоход?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $S$ (км) — искомое расстояние, которое должен был пройти теплоход, а $v$ (км/ч) — его предполагаемая (плановая) скорость. Из условия задачи следует, что фактическая скорость теплохода была на 2,5 км/ч больше, то есть $(v + 2,5)$ км/ч.

Чтобы использовать формулу пути ($S = \text{скорость} \cdot \text{время}$), необходимо привести единицы измерения времени к одному виду. Поскольку скорость дана в км/ч, переведем время из суток в часы. В одних сутках 24 часа.

Плановое время в пути: $t_1 = 2,25 \text{ суток} = 2,25 \cdot 24 = 54$ часа.

Фактическое время в пути: $t_2 = 2 \text{ суток} = 2 \cdot 24 = 48$ часов.

Теперь мы можем составить два уравнения для нахождения расстояния $S$:

1. Исходя из плановых данных: $S = v \cdot t_1 = v \cdot 54$

2. Исходя из фактических данных: $S = (v + 2,5) \cdot t_2 = (v + 2,5) \cdot 48$

Так как расстояние, которое прошел теплоход, в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять правые части этих уравнений, чтобы найти неизвестную плановую скорость $v$:

$54v = 48(v + 2,5)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$54v = 48v + 48 \cdot 2,5$

$54v = 48v + 120$

Перенесем слагаемые с переменной $v$ в левую часть уравнения:

$54v - 48v = 120$

$6v = 120$

$v = \frac{120}{6}$

$v = 20$ (км/ч)

Таким образом, плановая скорость теплохода составляла 20 км/ч. Теперь, зная скорость, мы можем найти расстояние $S$, подставив значение $v$ в любое из двух первоначальных уравнений. Воспользуемся первым:

$S = 54 \cdot v = 54 \cdot 20 = 1080$ км.

Для проверки можно рассчитать расстояние, используя данные о фактическом движении:

$S = 48 \cdot (20 + 2,5) = 48 \cdot 22,5 = 1080$ км.

Оба расчета дали одинаковый результат, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 1080 км.