Номер 954, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 954, страница 337.

Условие.

954. $$ \begin{cases} \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + \sin\left(\frac{3}{2}\pi - y\right) = 1, \\ x + y = -\frac{3\pi}{2}. \end{cases} $$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Исходная система уравнений:

$$\begin{cases}\cos(\frac{\pi}{2} + x) + \sin(\frac{3\pi}{2} - y) = 1 \\x + y = -\frac{3\pi}{2}\end{cases}$$

Сначала упростим первое уравнение, используя формулы приведения тригонометрических функций.

Согласно формуле приведения, $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x)$, так как во второй четверти косинус отрицателен, и при наличии $\frac{\pi}{2}$ функция меняется на кофункцию.

Аналогично, $\sin(\frac{3\pi}{2} - y) = -\cos(y)$, так как в третьей четверти синус отрицателен, и при наличии $\frac{3\pi}{2}$ функция меняется на кофункцию.

Подставив эти выражения в первое уравнение, получаем:

$-\sin(x) - \cos(y) = 1$

Умножив на $-1$, получим:

$\sin(x) + \cos(y) = -1$

Теперь система уравнений выглядит следующим образом:

$$\begin{cases}\sin(x) + \cos(y) = -1 \\x + y = -\frac{3\pi}{2}\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим переменную $x$: $x = -\frac{3\pi}{2} - y$.

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$\sin(-\frac{3\pi}{2} - y) + \cos(y) = -1$

Упростим выражение $\sin(-\frac{3\pi}{2} - y)$. Используем свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$:

$\sin(-\frac{3\pi}{2} - y) = -\sin(\frac{3\pi}{2} + y)$

Теперь применим формулу приведения для $\sin(\frac{3\pi}{2} + y)$. Угол $\frac{3\pi}{2} + y$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен, а функция меняется на косинус:

$\sin(\frac{3\pi}{2} + y) = -\cos(y)$

Следовательно, $\sin(-\frac{3\pi}{2} - y) = -(-\cos(y)) = \cos(y)$.

Подставив это обратно в уравнение, получим:

$\cos(y) + \cos(y) = -1$

$2\cos(y) = -1$

$\cos(y) = -\frac{1}{2}$

Решения этого тригонометрического уравнения для $y$:

$y = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем две серии решений для $y$:

$y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ и $y = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждой серии решений $y$, используя $x = -\frac{3\pi}{2} - y$.

Для первой серии решений $y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:

$x = -\frac{3\pi}{2} - (\frac{2\pi}{3} + 2\pi n) = -\frac{9\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} - 2\pi n = -\frac{13\pi}{6} - 2\pi n$.

Это дает первую пару решений: $(-\frac{13\pi}{6} - 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для второй серии решений $y = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:

$x = -\frac{3\pi}{2} - (-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n) = -\frac{9\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} - 2\pi n = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi n$.

Это дает вторую пару решений: $(-\frac{5\pi}{6} - 2\pi n, -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(-\frac{13\pi}{6} - 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, $(-\frac{5\pi}{6} - 2\pi n, -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.