Номер 954, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 954, страница 337.
№954 (с. 337)
Условие. №954 (с. 337)
скриншот условия

954. $$ \begin{cases} \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + \sin\left(\frac{3}{2}\pi - y\right) = 1, \\ x + y = -\frac{3\pi}{2}. \end{cases} $$
Решение 1. №954 (с. 337)

Решение 2. №954 (с. 337)

Решение 3. №954 (с. 337)
Исходная система уравнений:
$$\begin{cases}\cos(\frac{\pi}{2} + x) + \sin(\frac{3\pi}{2} - y) = 1 \\x + y = -\frac{3\pi}{2}\end{cases}$$
Сначала упростим первое уравнение, используя формулы приведения тригонометрических функций.
Согласно формуле приведения, $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x)$, так как во второй четверти косинус отрицателен, и при наличии $\frac{\pi}{2}$ функция меняется на кофункцию.
Аналогично, $\sin(\frac{3\pi}{2} - y) = -\cos(y)$, так как в третьей четверти синус отрицателен, и при наличии $\frac{3\pi}{2}$ функция меняется на кофункцию.
Подставив эти выражения в первое уравнение, получаем:
$-\sin(x) - \cos(y) = 1$
Умножив на $-1$, получим:
$\sin(x) + \cos(y) = -1$
Теперь система уравнений выглядит следующим образом:
$$\begin{cases}\sin(x) + \cos(y) = -1 \\x + y = -\frac{3\pi}{2}\end{cases}$$
Из второго уравнения выразим переменную $x$: $x = -\frac{3\pi}{2} - y$.
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$\sin(-\frac{3\pi}{2} - y) + \cos(y) = -1$
Упростим выражение $\sin(-\frac{3\pi}{2} - y)$. Используем свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$:
$\sin(-\frac{3\pi}{2} - y) = -\sin(\frac{3\pi}{2} + y)$
Теперь применим формулу приведения для $\sin(\frac{3\pi}{2} + y)$. Угол $\frac{3\pi}{2} + y$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен, а функция меняется на косинус:
$\sin(\frac{3\pi}{2} + y) = -\cos(y)$
Следовательно, $\sin(-\frac{3\pi}{2} - y) = -(-\cos(y)) = \cos(y)$.
Подставив это обратно в уравнение, получим:
$\cos(y) + \cos(y) = -1$
$2\cos(y) = -1$
$\cos(y) = -\frac{1}{2}$
Решения этого тригонометрического уравнения для $y$:
$y = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем две серии решений для $y$:
$y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ и $y = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждой серии решений $y$, используя $x = -\frac{3\pi}{2} - y$.
Для первой серии решений $y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:
$x = -\frac{3\pi}{2} - (\frac{2\pi}{3} + 2\pi n) = -\frac{9\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} - 2\pi n = -\frac{13\pi}{6} - 2\pi n$.
Это дает первую пару решений: $(-\frac{13\pi}{6} - 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для второй серии решений $y = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:
$x = -\frac{3\pi}{2} - (-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n) = -\frac{9\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} - 2\pi n = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi n$.
Это дает вторую пару решений: $(-\frac{5\pi}{6} - 2\pi n, -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(-\frac{13\pi}{6} - 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, $(-\frac{5\pi}{6} - 2\pi n, -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 954 расположенного на странице 337 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №954 (с. 337), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.