Номер 952, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 952, страница 337.

Условие.

952.

1) $ \begin{cases} 3^{x+y+1} + 7 \cdot 3^{y-2} = 8, \\ \sqrt{x+y^2} = x+y; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2^{x-y+1} \cdot 7 \cdot 2^{y-5} = 4, \\ \sqrt{2x+y^2} = x+y. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 3^{x+y+1} + 7 \cdot 3^{y-2} = 8, \\ \sqrt{x+y^2} = x+y \end{cases}$

Начнем со второго уравнения. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:

$x+y^2 \ge 0$ и $x+y \ge 0$.

При условии $x+y \ge 0$ возведем второе уравнение в квадрат:

$(\sqrt{x+y^2})^2 = (x+y)^2$

$x+y^2 = x^2+2xy+y^2$

$x = x^2+2xy$

$x^2+2xy-x = 0$

$x(x+2y-1) = 0$

Это уравнение дает нам два случая:

Случай 1: $x=0$.

Подставим $x=0$ в первое уравнение системы:

$3^{0+y+1} + 7 \cdot 3^{y-2} = 8$

$3^{y+1} + 7 \cdot 3^{y-2} = 8$

$3 \cdot 3^y + 7 \cdot 3^y \cdot 3^{-2} = 8$

$3 \cdot 3^y + \frac{7}{9} \cdot 3^y = 8$

$3^y (3 + \frac{7}{9}) = 8$

$3^y (\frac{27+7}{9}) = 8$

$3^y \cdot \frac{34}{9} = 8$

$3^y = \frac{8 \cdot 9}{34} = \frac{72}{34} = \frac{36}{17}$

$y = \log_3(\frac{36}{17})$

Проверим условия ОДЗ для решения $(0, \log_3(\frac{36}{17}))$.

$x+y \ge 0 \Rightarrow 0 + \log_3(\frac{36}{17}) \ge 0$. Так как $\frac{36}{17} > 1$, то $\log_3(\frac{36}{17}) > 0$. Условие выполнено.

$x+y^2 \ge 0 \Rightarrow 0 + (\log_3(\frac{36}{17}))^2 \ge 0$. Условие выполнено.

Следовательно, $(0, \log_3(\frac{36}{17}))$ является решением системы.

Случай 2: $x+2y-1=0$, откуда $x = 1-2y$.

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$3^{(1-2y)+y+1} + 7 \cdot 3^{y-2} = 8$

$3^{2-y} + 7 \cdot 3^{y-2} = 8$

$\frac{3^2}{3^y} + 7 \cdot \frac{3^y}{3^2} = 8$

$\frac{9}{3^y} + \frac{7}{9} \cdot 3^y = 8$

Сделаем замену $a = 3^y$. Так как $y$ - вещественное число, то $a>0$.

$\frac{9}{a} + \frac{7a}{9} = 8$

Умножим обе части на $9a$ (так как $a \ne 0$):

$81 + 7a^2 = 72a$

$7a^2 - 72a + 81 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-72)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 81 = 5184 - 2268 = 2916 = 54^2$.

$a_{1,2} = \frac{72 \pm 54}{2 \cdot 7} = \frac{72 \pm 54}{14}$

$a_1 = \frac{72+54}{14} = \frac{126}{14} = 9$

$a_2 = \frac{72-54}{14} = \frac{18}{14} = \frac{9}{7}$

Рассмотрим оба значения $a$.

Если $a_1=9$, то $3^y = 9$, откуда $y=2$.

Найдем $x = 1-2y = 1 - 2(2) = -3$.

Проверим ОДЗ для пары $(-3, 2)$: $x+y = -3+2 = -1$. Условие $x+y \ge 0$ не выполнено, так как $-1 < 0$. Это постороннее решение.

Если $a_2=\frac{9}{7}$, то $3^y = \frac{9}{7}$, откуда $y = \log_3(\frac{9}{7})$.

Найдем $x = 1-2y = 1 - 2\log_3(\frac{9}{7})$.

Проверим ОДЗ для этой пары. Условие $x+y \ge 0$ эквивалентно $(1-2y)+y \ge 0$, то есть $1-y \ge 0$ или $y \le 1$.

$y = \log_3(\frac{9}{7})$. Так как $\frac{9}{7} < 3$, то $\log_3(\frac{9}{7}) < \log_3(3) = 1$. Условие $y \le 1$ выполнено.

Второе условие $x+y^2 \ge 0$ эквивалентно $(1-2y)+y^2 \ge 0$, то есть $(y-1)^2 \ge 0$, что верно для любого $y$.

Таким образом, эта пара является решением. Упростим выражение для $x$:

$x = 1 - 2\log_3(\frac{9}{7}) = 1 - 2(\log_3(9) - \log_3(7)) = 1 - 2(2 - \log_3(7)) = 1 - 4 + 2\log_3(7) = -3 + \log_3(7^2) = \log_3(3^{-3}) + \log_3(49) = \log_3(\frac{1}{27}) + \log_3(49) = \log_3(\frac{49}{27})$.

Второе решение: $(\log_3(\frac{49}{27}), \log_3(\frac{9}{7}))$.

Ответ: $(0, \log_3(\frac{36}{17}))$, $(\log_3(\frac{49}{27}), \log_3(\frac{9}{7}))$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 2^{x+y+1} \cdot 7 \cdot 2^{y-5} = 4, \\ \sqrt{2x+y^2} = x+y \end{cases}$

Начнем с преобразования первого уравнения:

$7 \cdot 2^{(x+y+1) + (y-5)} = 4$

$7 \cdot 2^{x+2y-4} = 4$

$2^{x+2y-4} = \frac{4}{7}$

Прологарифмируем обе части по основанию 2:

$x+2y-4 = \log_2(\frac{4}{7})$

$x+2y-4 = \log_2(4) - \log_2(7)$

$x+2y-4 = 2 - \log_2(7)$

$x+2y = 6 - \log_2(7)$

Теперь рассмотрим второе уравнение. ОДЗ: $2x+y^2 \ge 0$ и $x+y \ge 0$.

При условии $x+y \ge 0$ возведем в квадрат:

$2x+y^2 = (x+y)^2$

$2x+y^2 = x^2+2xy+y^2$

$2x = x^2+2xy$

$x^2+2xy-2x = 0$

$x(x+2y-2) = 0$

Отсюда получаем два случая:

Случай 1: $x=0$.

Подставим $x=0$ в полученное ранее линейное уравнение $x+2y = 6 - \log_2(7)$:

$0+2y = 6 - \log_2(7)$

$y = \frac{6 - \log_2(7)}{2} = 3 - \frac{1}{2}\log_2(7) = 3 - \log_2(\sqrt{7})$.

Упростим выражение для $y$: $y = \log_2(2^3) - \log_2(\sqrt{7}) = \log_2(\frac{8}{\sqrt{7}})$.

Получили возможное решение $(0, \log_2(\frac{8}{\sqrt{7}}))$.

Проверим ОДЗ:

$x+y \ge 0 \Rightarrow 0 + \log_2(\frac{8}{\sqrt{7}}) \ge 0$. Так как $\sqrt{7} < 8$, то $\frac{8}{\sqrt{7}} > 1$ и логарифм положителен. Условие выполнено.

$2x+y^2 \ge 0 \Rightarrow 2(0) + (\log_2(\frac{8}{\sqrt{7}}))^2 \ge 0$. Условие выполнено.

Следовательно, $(0, \log_2(\frac{8}{\sqrt{7}}))$ является решением.

Случай 2: $x+2y-2=0$, то есть $x+2y=2$.

Мы получили систему из двух линейных соотношений для $x$ и $y$:

$\begin{cases} x+2y = 6 - \log_2(7) \\ x+2y = 2 \end{cases}$

Приравнивая правые части, получаем:

$2 = 6 - \log_2(7)$

$\log_2(7) = 4$

$7 = 2^4$

$7 = 16$

Это неверное равенство, значит, в этом случае решений нет.

Единственным решением системы является найденное в первом случае.

Ответ: $(0, \log_2(\frac{8}{\sqrt{7}}))$.