Номер 951, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 951, страница 337.

Условие.

951. 1) $\begin{cases} \sqrt{x+y-1}=1, \\ \sqrt{x-y+2}=2y-2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{3y+x+1}=2, \\ \sqrt{2x-y+2}=7y-6. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x+y-1} = 1, \\ \sqrt{x-y+2} = 2y-2; \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательны, и правая часть второго уравнения (значение корня) также должна быть неотрицательна.

$ \begin{cases} x+y-1 \ge 0 \\ x-y+2 \ge 0 \\ 2y-2 \ge 0 \implies y \ge 1 \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение системы. Возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{x+y-1})^2 = 1^2$

$x+y-1 = 1$

$x+y = 2$

Выразим $x$ через $y$:

$x = 2-y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$\sqrt{(2-y)-y+2} = 2y-2$

$\sqrt{4-2y} = 2y-2$

Для существования этого уравнения должно выполняться условие $4-2y \ge 0$, откуда $y \le 2$. С учетом ОДЗ ($y \ge 1$), получаем общее ограничение для $y$: $1 \le y \le 2$.

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{4-2y} = 2y-2$ в квадрат:

$4-2y = (2y-2)^2$

$4-2y = 4y^2 - 8y + 4$

$4y^2 - 6y = 0$

$2y(2y-3) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$y_1 = 0$

$2y_2 - 3 = 0 \implies y_2 = 1.5$

Проверим корни на соответствие условию $1 \le y \le 2$.

Корень $y_1 = 0$ не удовлетворяет условию, так как $0 < 1$. Это посторонний корень.

Корень $y_2 = 1.5$ удовлетворяет условию, так как $1 \le 1.5 \le 2$.

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = 2-y = 2-1.5 = 0.5$

Получили решение $(0.5; 1.5)$. Проверим его, подставив в исходную систему:

$\sqrt{0.5+1.5-1} = \sqrt{1} = 1$ (верно)

$\sqrt{0.5-1.5+2} = \sqrt{1} = 1$ и $2(1.5)-2 = 3-2 = 1$ (верно)

Ответ: $(0.5; 1.5)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{3y+x+1} = 2, \\ \sqrt{2x-y+2} = 7y-6. \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} 3y+x+1 \ge 0 \\ 2x-y+2 \ge 0 \\ 7y-6 \ge 0 \implies y \ge \frac{6}{7} \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение системы. Возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{3y+x+1})^2 = 2^2$

$3y+x+1 = 4$

$x+3y = 3$

Выразим $x$ через $y$:

$x = 3-3y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$\sqrt{2(3-3y)-y+2} = 7y-6$

$\sqrt{6-6y-y+2} = 7y-6$

$\sqrt{8-7y} = 7y-6$

Для существования этого уравнения должно выполняться условие $8-7y \ge 0$, откуда $y \le \frac{8}{7}$. С учетом ОДЗ ($y \ge \frac{6}{7}$), получаем общее ограничение для $y$: $\frac{6}{7} \le y \le \frac{8}{7}$.

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{8-7y} = 7y-6$ в квадрат:

$8-7y = (7y-6)^2$

$8-7y = 49y^2 - 84y + 36$

$49y^2 - 77y + 28 = 0$

Разделим все уравнение на 7:

$7y^2 - 11y + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 4 = 121 - 112 = 9$

Найдем корни:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 7} = \frac{11 \pm 3}{14}$

$y_1 = \frac{11-3}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$

$y_2 = \frac{11+3}{14} = \frac{14}{14} = 1$

Проверим корни на соответствие условию $\frac{6}{7} \le y \le \frac{8}{7}$.

Корень $y_1 = \frac{4}{7}$ не удовлетворяет условию, так как $\frac{4}{7} < \frac{6}{7}$. Это посторонний корень.

Корень $y_2 = 1$ удовлетворяет условию, так как $\frac{6}{7} \le 1 \le \frac{8}{7}$ (т.к. $1=\frac{7}{7}$).

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = 3-3y = 3-3 \cdot 1 = 0$

Получили решение $(0; 1)$. Проверим его, подставив в исходную систему:

$\sqrt{3(1)+0+1} = \sqrt{4} = 2$ (верно)

$\sqrt{2(0)-1+2} = \sqrt{1} = 1$ и $7(1)-6 = 7-6 = 1$ (верно)

Ответ: $(0; 1)$.