Номер 951, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 951, страница 337.
№951 (с. 337)
Условие. №951 (с. 337)
скриншот условия

951. 1) $\begin{cases} \sqrt{x+y-1}=1, \\ \sqrt{x-y+2}=2y-2; \end{cases}$
2) $\begin{cases} \sqrt{3y+x+1}=2, \\ \sqrt{2x-y+2}=7y-6. \end{cases}$
Решение 1. №951 (с. 337)


Решение 2. №951 (с. 337)


Решение 3. №951 (с. 337)
1)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt{x+y-1} = 1, \\ \sqrt{x-y+2} = 2y-2; \end{cases} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательны, и правая часть второго уравнения (значение корня) также должна быть неотрицательна.
$ \begin{cases} x+y-1 \ge 0 \\ x-y+2 \ge 0 \\ 2y-2 \ge 0 \implies y \ge 1 \end{cases} $
Рассмотрим первое уравнение системы. Возведем обе его части в квадрат:
$(\sqrt{x+y-1})^2 = 1^2$
$x+y-1 = 1$
$x+y = 2$
Выразим $x$ через $y$:
$x = 2-y$
Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:
$\sqrt{(2-y)-y+2} = 2y-2$
$\sqrt{4-2y} = 2y-2$
Для существования этого уравнения должно выполняться условие $4-2y \ge 0$, откуда $y \le 2$. С учетом ОДЗ ($y \ge 1$), получаем общее ограничение для $y$: $1 \le y \le 2$.
Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{4-2y} = 2y-2$ в квадрат:
$4-2y = (2y-2)^2$
$4-2y = 4y^2 - 8y + 4$
$4y^2 - 6y = 0$
$2y(2y-3) = 0$
Это уравнение имеет два корня:
$y_1 = 0$
$2y_2 - 3 = 0 \implies y_2 = 1.5$
Проверим корни на соответствие условию $1 \le y \le 2$.
Корень $y_1 = 0$ не удовлетворяет условию, так как $0 < 1$. Это посторонний корень.
Корень $y_2 = 1.5$ удовлетворяет условию, так как $1 \le 1.5 \le 2$.
Найдем соответствующее значение $x$:
$x = 2-y = 2-1.5 = 0.5$
Получили решение $(0.5; 1.5)$. Проверим его, подставив в исходную систему:
$\sqrt{0.5+1.5-1} = \sqrt{1} = 1$ (верно)
$\sqrt{0.5-1.5+2} = \sqrt{1} = 1$ и $2(1.5)-2 = 3-2 = 1$ (верно)
Ответ: $(0.5; 1.5)$.
2)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt{3y+x+1} = 2, \\ \sqrt{2x-y+2} = 7y-6. \end{cases} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} 3y+x+1 \ge 0 \\ 2x-y+2 \ge 0 \\ 7y-6 \ge 0 \implies y \ge \frac{6}{7} \end{cases} $
Рассмотрим первое уравнение системы. Возведем обе его части в квадрат:
$(\sqrt{3y+x+1})^2 = 2^2$
$3y+x+1 = 4$
$x+3y = 3$
Выразим $x$ через $y$:
$x = 3-3y$
Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:
$\sqrt{2(3-3y)-y+2} = 7y-6$
$\sqrt{6-6y-y+2} = 7y-6$
$\sqrt{8-7y} = 7y-6$
Для существования этого уравнения должно выполняться условие $8-7y \ge 0$, откуда $y \le \frac{8}{7}$. С учетом ОДЗ ($y \ge \frac{6}{7}$), получаем общее ограничение для $y$: $\frac{6}{7} \le y \le \frac{8}{7}$.
Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{8-7y} = 7y-6$ в квадрат:
$8-7y = (7y-6)^2$
$8-7y = 49y^2 - 84y + 36$
$49y^2 - 77y + 28 = 0$
Разделим все уравнение на 7:
$7y^2 - 11y + 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 4 = 121 - 112 = 9$
Найдем корни:
$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 7} = \frac{11 \pm 3}{14}$
$y_1 = \frac{11-3}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$
$y_2 = \frac{11+3}{14} = \frac{14}{14} = 1$
Проверим корни на соответствие условию $\frac{6}{7} \le y \le \frac{8}{7}$.
Корень $y_1 = \frac{4}{7}$ не удовлетворяет условию, так как $\frac{4}{7} < \frac{6}{7}$. Это посторонний корень.
Корень $y_2 = 1$ удовлетворяет условию, так как $\frac{6}{7} \le 1 \le \frac{8}{7}$ (т.к. $1=\frac{7}{7}$).
Найдем соответствующее значение $x$:
$x = 3-3y = 3-3 \cdot 1 = 0$
Получили решение $(0; 1)$. Проверим его, подставив в исходную систему:
$\sqrt{3(1)+0+1} = \sqrt{4} = 2$ (верно)
$\sqrt{2(0)-1+2} = \sqrt{1} = 1$ и $7(1)-6 = 7-6 = 1$ (верно)
Ответ: $(0; 1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 951 расположенного на странице 337 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №951 (с. 337), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.