Номер 1069, страница 349 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1069, страница 349.
№1069 (с. 349)
Условие. №1069 (с. 349)
скриншот условия

1069. Исследовать с помощью производной функцию
$y = x^3 - 3x + 2$
и построить её график. Найти точки, в которых касательные к графику параллельны оси Ox.
Решение 1. №1069 (с. 349)

Решение 2. №1069 (с. 349)


Решение 3. №1069 (с. 349)
Исследовать с помощью производной функцию $y = x^3 - 3x + 2$ и построить её график
Для исследования функции и построения ее графика выполним следующие шаги:
1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) + 2 = -x^3 + 3x + 2$.
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).
3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью $Oy$: подставим $x=0$ в уравнение функции: $y(0) = 0^3 - 3(0) + 2 = 2$. Точка пересечения с осью ординат: $(0, 2)$.
- С осью $Ox$: подставим $y=0$ в уравнение функции: $x^3 - 3x + 2 = 0$.
Заметим, что $x=1$ является корнем, так как $1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Это значит, что многочлен $(x^3 - 3x + 2)$ делится на $(x-1)$ без остатка. Выполним деление (например, столбиком или по схеме Горнера) и получим: $(x^3 - 3x + 2) : (x-1) = x^2 + x - 2$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде: $(x-1)(x^2+x-2) = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2+x-2 = 0$. Его корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
В итоге, исходное уравнение имеет два различных корня: $x = -2$ и $x = 1$ (корень кратности 2).
Точки пересечения с осью абсцисс: $(-2, 0)$ и $(1, 0)$. Так как $x=1$ — корень кратности 2, в этой точке график касается оси $Ox$.
4. Промежутки монотонности и экстремумы.
Найдем первую производную функции: $y' = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, +\infty)$.
- При $x \in (-\infty, -1)$, например $x=-2$, $y'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9 > 0$, следовательно, функция возрастает.
- При $x \in (-1, 1)$, например $x=0$, $y'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0$, следовательно, функция убывает.
- При $x \in (1, +\infty)$, например $x=2$, $y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9 > 0$, следовательно, функция возрастает.
В точке $x=-1$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка локального максимума. Найдем значение функции в этой точке: $y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$. Точка максимума: $(-1, 4)$.
В точке $x=1$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка локального минимума. Найдем значение функции: $y_{min} = y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Точка минимума: $(1, 0)$.
5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 - 3)' = 6x$.
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю: $6x = 0 \implies x = 0$.
- При $x \in (-\infty, 0)$, $y'' < 0$, следовательно, график функции выпуклый вверх.
- При $x \in (0, +\infty)$, $y'' > 0$, следовательно, график функции выпуклый вниз.
В точке $x=0$ направление выпуклости меняется, значит, это точка перегиба. Ордината этой точки $y(0)=2$. Точка перегиба: $(0, 2)$.
6. Построение графика.
На основе проведенного анализа, отметим ключевые точки на координатной плоскости: $(-2, 0)$ (пересечение с $Ox$), $(1, 0)$ (касание $Ox$, минимум), $(-1, 4)$ (максимум), $(0, 2)$ (пересечение с $Oy$, перегиб).
Соединяем эти точки плавной кривой, учитывая информацию о монотонности и выпуклости. График приходит из $-\infty$, возрастает до точки максимума $(-1, 4)$, затем убывает, проходит через точку перегиба $(0, 2)$, достигает точки минимума $(1, 0)$, где касается оси абсцисс, и затем снова возрастает, уходя в $+\infty$.
Ответ: В результате исследования установлено, что функция $y=x^3-3x+2$ возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на $[-1, 1]$. Точка локального максимума $(-1, 4)$, точка локального минимума $(1, 0)$. График функции выпуклый вверх на $(-\infty, 0)$ и выпуклый вниз на $(0, +\infty)$. Точка перегиба графика — $(0, 2)$. График пересекает оси координат в точках $(-2, 0)$, $(1, 0)$ и $(0, 2)$.
Найти точки, в которых касательные к графику параллельны оси Ox
Касательная к графику функции параллельна оси $Ox$ (оси абсцисс) в тех точках, где ее угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной в любой точке графика равен значению производной функции в этой точке.
Следовательно, нам необходимо найти точки, в которых производная $y' = 3x^2 - 3$ обращается в ноль.
$3x^2 - 3 = 0$
$3(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1$
Отсюда получаем два значения абсциссы: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.
Теперь найдем соответствующие ординаты этих точек, подставив значения $x$ в исходное уравнение функции:
- При $x = -1$: $y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$.
- При $x = 1$: $y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.
Таким образом, искомые точки — это точки локальных экстремумов функции, где касательная горизонтальна.
Ответ: $(-1, 4)$ и $(1, 0)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1069 расположенного на странице 349 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1069 (с. 349), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.