Номер 1069, страница 349 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1069, страница 349.

Условие.

1069. Исследовать с помощью производной функцию

$y = x^3 - 3x + 2$

и построить её график. Найти точки, в которых касательные к графику параллельны оси Ox.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Исследовать с помощью производной функцию $y = x^3 - 3x + 2$ и построить её график

Для исследования функции и построения ее графика выполним следующие шаги:

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) + 2 = -x^3 + 3x + 2$.
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью $Oy$: подставим $x=0$ в уравнение функции: $y(0) = 0^3 - 3(0) + 2 = 2$. Точка пересечения с осью ординат: $(0, 2)$.
- С осью $Ox$: подставим $y=0$ в уравнение функции: $x^3 - 3x + 2 = 0$.
Заметим, что $x=1$ является корнем, так как $1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Это значит, что многочлен $(x^3 - 3x + 2)$ делится на $(x-1)$ без остатка. Выполним деление (например, столбиком или по схеме Горнера) и получим: $(x^3 - 3x + 2) : (x-1) = x^2 + x - 2$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде: $(x-1)(x^2+x-2) = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2+x-2 = 0$. Его корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
В итоге, исходное уравнение имеет два различных корня: $x = -2$ и $x = 1$ (корень кратности 2).
Точки пересечения с осью абсцисс: $(-2, 0)$ и $(1, 0)$. Так как $x=1$ — корень кратности 2, в этой точке график касается оси $Ox$.

4. Промежутки монотонности и экстремумы.
Найдем первую производную функции: $y' = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, +\infty)$.
- При $x \in (-\infty, -1)$, например $x=-2$, $y'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9 > 0$, следовательно, функция возрастает.
- При $x \in (-1, 1)$, например $x=0$, $y'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0$, следовательно, функция убывает.
- При $x \in (1, +\infty)$, например $x=2$, $y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9 > 0$, следовательно, функция возрастает.
В точке $x=-1$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка локального максимума. Найдем значение функции в этой точке: $y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$. Точка максимума: $(-1, 4)$.
В точке $x=1$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка локального минимума. Найдем значение функции: $y_{min} = y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Точка минимума: $(1, 0)$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 - 3)' = 6x$.
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю: $6x = 0 \implies x = 0$.
- При $x \in (-\infty, 0)$, $y'' < 0$, следовательно, график функции выпуклый вверх.
- При $x \in (0, +\infty)$, $y'' > 0$, следовательно, график функции выпуклый вниз.
В точке $x=0$ направление выпуклости меняется, значит, это точка перегиба. Ордината этой точки $y(0)=2$. Точка перегиба: $(0, 2)$.

6. Построение графика.
На основе проведенного анализа, отметим ключевые точки на координатной плоскости: $(-2, 0)$ (пересечение с $Ox$), $(1, 0)$ (касание $Ox$, минимум), $(-1, 4)$ (максимум), $(0, 2)$ (пересечение с $Oy$, перегиб).
Соединяем эти точки плавной кривой, учитывая информацию о монотонности и выпуклости. График приходит из $-\infty$, возрастает до точки максимума $(-1, 4)$, затем убывает, проходит через точку перегиба $(0, 2)$, достигает точки минимума $(1, 0)$, где касается оси абсцисс, и затем снова возрастает, уходя в $+\infty$.

Ответ: В результате исследования установлено, что функция $y=x^3-3x+2$ возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на $[-1, 1]$. Точка локального максимума $(-1, 4)$, точка локального минимума $(1, 0)$. График функции выпуклый вверх на $(-\infty, 0)$ и выпуклый вниз на $(0, +\infty)$. Точка перегиба графика — $(0, 2)$. График пересекает оси координат в точках $(-2, 0)$, $(1, 0)$ и $(0, 2)$.

Найти точки, в которых касательные к графику параллельны оси Ox

Касательная к графику функции параллельна оси $Ox$ (оси абсцисс) в тех точках, где ее угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной в любой точке графика равен значению производной функции в этой точке.

Следовательно, нам необходимо найти точки, в которых производная $y' = 3x^2 - 3$ обращается в ноль.

$3x^2 - 3 = 0$

$3(x^2 - 1) = 0$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два значения абсциссы: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Теперь найдем соответствующие ординаты этих точек, подставив значения $x$ в исходное уравнение функции:

- При $x = -1$: $y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$.

- При $x = 1$: $y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.

Таким образом, искомые точки — это точки локальных экстремумов функции, где касательная горизонтальна.

Ответ: $(-1, 4)$ и $(1, 0)$.