Номер 1063, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1063, страница 348.
№1063 (с. 348)
Условие. №1063 (с. 348)
скриншот условия

1063. 1) $y=\sqrt{x+5}$ на отрезке $[-1; 4]$;
2) $y=\sin x+2\sqrt{2}\cos x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.
Решение 1. №1063 (с. 348)


Решение 2. №1063 (с. 348)

Решение 3. №1063 (с. 348)
1) Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt{x+5}$ на отрезке $[-1; 4]$.
Для нахождения экстремумов функции на отрезке используется следующий алгоритм:
- Находим область определения функции.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+5 \ge 0$, что означает $x \ge -5$. Весь заданный отрезок $[-1; 4]$ входит в область определения функции. - Находим производную функции:
$y' = (\sqrt{x+5})' = \frac{1}{2\sqrt{x+5}}$. - Находим критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует.
- $y' = 0$: Уравнение $\frac{1}{2\sqrt{x+5}} = 0$ не имеет решений, так как числитель равен 1.
- Производная не существует, если знаменатель равен нулю: $2\sqrt{x+5} = 0$, откуда $x = -5$.
- Поскольку на всем отрезке $[-1; 4]$ производная $y' = \frac{1}{2\sqrt{x+5}}$ положительна ($y' > 0$), функция является строго возрастающей на этом отрезке.
- Для возрастающей функции наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом. Вычислим значения функции в этих точках:
- Значение на левом конце: $y(-1) = \sqrt{-1+5} = \sqrt{4} = 2$.
- Значение на правом конце: $y(4) = \sqrt{4+5} = \sqrt{9} = 3$.
Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке равно 2, а наибольшее — 3.
Ответ: наименьшее значение функции равно 2, наибольшее значение равно 3.
2) Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sin x + 2\sqrt{2}\cos x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.
Действуем по стандартному алгоритму.
- Находим производную функции:
$y' = (\sin x + 2\sqrt{2}\cos x)' = \cos x - 2\sqrt{2}\sin x$. - Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$\cos x - 2\sqrt{2}\sin x = 0$
$\cos x = 2\sqrt{2}\sin x$
На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$, $\cos x = 0$ только при $x=\frac{\pi}{2}$. В этой точке $\sin(\frac{\pi}{2})=1$, и равенство $0 = 2\sqrt{2}\cdot 1$ неверно. Значит, можно разделить обе части на $\cos x$:
$1 = 2\sqrt{2}\frac{\sin x}{\cos x}$
$\tan x = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
Так как $\frac{1}{2\sqrt{2}} > 0$, существует единственная точка $x_0 = \arctan(\frac{1}{2\sqrt{2}})$ в интервале $(0; \frac{\pi}{2})$, которая является критической. Эта точка принадлежит заданному отрезку. - Вычислим значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка.
- На левом конце отрезка, при $x=0$:
$y(0) = \sin(0) + 2\sqrt{2}\cos(0) = 0 + 2\sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}$. - На правом конце отрезка, при $x=\frac{\pi}{2}$:
$y(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) + 2\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{2}) = 1 + 2\sqrt{2} \cdot 0 = 1$. - В критической точке $x_0$, где $\tan x_0 = \frac{1}{2\sqrt{2}}$. Чтобы найти значение функции, найдем $\sin x_0$ и $\cos x_0$. Из тождества $1 + \tan^2 x_0 = \frac{1}{\cos^2 x_0}$ имеем:
$\frac{1}{\cos^2 x_0} = 1 + (\frac{1}{2\sqrt{2}})^2 = 1 + \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$.
Отсюда $\cos^2 x_0 = \frac{8}{9}$. Так как $x_0 \in [0; \frac{\pi}{2}]$, $\cos x_0 > 0$, и $\cos x_0 = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Тогда $\sin x_0 = \sqrt{1 - \cos^2 x_0} = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.
Подставляем найденные значения в функцию:
$y(x_0) = \sin x_0 + 2\sqrt{2}\cos x_0 = \frac{1}{3} + 2\sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
- На левом конце отрезка, при $x=0$:
- Сравниваем полученные значения: $2\sqrt{2}$, $1$ и $3$.
Так как $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$, а $3 = \sqrt{9}$, то $2\sqrt{2} < 3$. Очевидно, $1 < 2\sqrt{2}$.
Получаем sıralama: $1 < 2\sqrt{2} < 3$.
Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке равно 1, а наибольшее равно 3.
Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшее значение равно 3.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1063 расположенного на странице 348 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1063 (с. 348), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.