Номер 1063, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1063, страница 348.

Условие.

1063. 1) $y=\sqrt{x+5}$ на отрезке $[-1; 4]$;

2) $y=\sin x+2\sqrt{2}\cos x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt{x+5}$ на отрезке $[-1; 4]$.

Для нахождения экстремумов функции на отрезке используется следующий алгоритм:

1. Находим область определения функции.
   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+5 \ge 0$, что означает $x \ge -5$. Весь заданный отрезок $[-1; 4]$ входит в область определения функции.
2. Находим производную функции:
   $y' = (\sqrt{x+5})' = \frac{1}{2\sqrt{x+5}}$.
3. Находим критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует.
   • $y' = 0$: Уравнение $\frac{1}{2\sqrt{x+5}} = 0$ не имеет решений, так как числитель равен 1.
   • Производная не существует, если знаменатель равен нулю: $2\sqrt{x+5} = 0$, откуда $x = -5$.
   Критическая точка $x=-5$ не принадлежит отрезку $[-1; 4]$. Следовательно, внутри отрезка критических точек нет.
4. Поскольку на всем отрезке $[-1; 4]$ производная $y' = \frac{1}{2\sqrt{x+5}}$ положительна ($y' > 0$), функция является строго возрастающей на этом отрезке.
5. Для возрастающей функции наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом. Вычислим значения функции в этих точках:
   • Значение на левом конце: $y(-1) = \sqrt{-1+5} = \sqrt{4} = 2$.
   • Значение на правом конце: $y(4) = \sqrt{4+5} = \sqrt{9} = 3$.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке равно 2, а наибольшее — 3.

Ответ: наименьшее значение функции равно 2, наибольшее значение равно 3.

2) Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sin x + 2\sqrt{2}\cos x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Действуем по стандартному алгоритму.

1. Находим производную функции:
   $y' = (\sin x + 2\sqrt{2}\cos x)' = \cos x - 2\sqrt{2}\sin x$.
2. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
   $\cos x - 2\sqrt{2}\sin x = 0$
   $\cos x = 2\sqrt{2}\sin x$
   На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$, $\cos x = 0$ только при $x=\frac{\pi}{2}$. В этой точке $\sin(\frac{\pi}{2})=1$, и равенство $0 = 2\sqrt{2}\cdot 1$ неверно. Значит, можно разделить обе части на $\cos x$:
   $1 = 2\sqrt{2}\frac{\sin x}{\cos x}$
   $\tan x = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
   Так как $\frac{1}{2\sqrt{2}} > 0$, существует единственная точка $x_0 = \arctan(\frac{1}{2\sqrt{2}})$ в интервале $(0; \frac{\pi}{2})$, которая является критической. Эта точка принадлежит заданному отрезку.
3. Вычислим значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка.
   • На левом конце отрезка, при $x=0$:
     $y(0) = \sin(0) + 2\sqrt{2}\cos(0) = 0 + 2\sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}$.
   • На правом конце отрезка, при $x=\frac{\pi}{2}$:
     $y(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) + 2\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{2}) = 1 + 2\sqrt{2} \cdot 0 = 1$.
   • В критической точке $x_0$, где $\tan x_0 = \frac{1}{2\sqrt{2}}$. Чтобы найти значение функции, найдем $\sin x_0$ и $\cos x_0$. Из тождества $1 + \tan^2 x_0 = \frac{1}{\cos^2 x_0}$ имеем:
     $\frac{1}{\cos^2 x_0} = 1 + (\frac{1}{2\sqrt{2}})^2 = 1 + \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$.
     Отсюда $\cos^2 x_0 = \frac{8}{9}$. Так как $x_0 \in [0; \frac{\pi}{2}]$, $\cos x_0 > 0$, и $\cos x_0 = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
     Тогда $\sin x_0 = \sqrt{1 - \cos^2 x_0} = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.
     Подставляем найденные значения в функцию:
     $y(x_0) = \sin x_0 + 2\sqrt{2}\cos x_0 = \frac{1}{3} + 2\sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
4. Сравниваем полученные значения: $2\sqrt{2}$, $1$ и $3$.
   Так как $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$, а $3 = \sqrt{9}$, то $2\sqrt{2} < 3$. Очевидно, $1 < 2\sqrt{2}$.
   Получаем sıralama: $1 < 2\sqrt{2} < 3$.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке равно 1, а наибольшее равно 3.

Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшее значение равно 3.