Номер 1061, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1061, страница 348.

Условие.

1061. 1) $y = \frac{3x^2 + 4x + 4}{x^2 + x + 1}$;

2) $y = \frac{x^2 + 6x + 3}{3x + 4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы найти множество значений функции $y = \frac{3x^2 + 4x + 4}{x^2 + x + 1}$, мы определим, при каких значениях параметра $y$ уравнение имеет хотя бы одно действительное решение относительно $x$.

Сначала исследуем знаменатель дроби $x^2 + x + 1$. Дискриминант этого квадратного трехчлена равен $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент (равный 1) положителен, знаменатель $x^2 + x + 1$ всегда больше нуля при любом действительном значении $x$. Это означает, что область определения функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Теперь преобразуем исходное равенство. Умножим обе части на знаменатель:

$y(x^2 + x + 1) = 3x^2 + 4x + 4$

$yx^2 + yx + y = 3x^2 + 4x + 4$

Сгруппируем все члены в левой части, чтобы получить квадратное уравнение относительно переменной $x$:

$(y - 3)x^2 + (y - 4)x + (y - 4) = 0$

Это уравнение имеет действительные решения для $x$ тогда и только тогда, когда оно разрешимо. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $y - 3 \neq 0 \implies y \neq 3$.В этом случае уравнение является квадратным. Оно имеет действительные корни, если его дискриминант $D_x$ неотрицателен ($D_x \ge 0$).

$D_x = (y - 4)^2 - 4(y - 3)(y - 4)$

Вынесем общий множитель $(y - 4)$ за скобки:

$D_x = (y - 4)((y - 4) - 4(y - 3)) = (y - 4)(y - 4 - 4y + 12) = (y - 4)(-3y + 8)$

Теперь решим неравенство $D_x \ge 0$:

$(y - 4)(-3y + 8) \ge 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$(y - 4)(3y - 8) \le 0$

Корнями выражения в левой части являются $y_1 = 4$ и $y_2 = 8/3$. Используя метод интервалов, находим, что неравенство выполняется для $y \in [8/3, 4]$.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $y - 3 = 0 \implies y = 3$.Подставим это значение в уравнение $(y - 3)x^2 + (y - 4)x + (y - 4) = 0$:

$(3 - 3)x^2 + (3 - 4)x + (3 - 4) = 0$

$0 \cdot x^2 - x - 1 = 0$

$-x = 1 \implies x = -1$

Поскольку при $y=3$ существует действительное решение $x=-1$, значение $y=3$ входит в множество значений функции. Это значение также содержится в отрезке $[8/3, 4]$, найденном в первом случае.

Объединяя результаты, мы заключаем, что множество значений функции есть отрезок $[8/3, 4]$.

Ответ: $E(y) = [8/3, 4]$.

2) Найдем множество значений функции $y = \frac{x^2 + 6x + 3}{3x + 4}$.

Область определения функции задается условием $3x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq -4/3$.

Рассмотрим уравнение как уравнение относительно $x$ при заданном параметре $y$. Предполагая, что $x \neq -4/3$, умножим обе части на знаменатель:

$y(3x + 4) = x^2 + 6x + 3$

$3yx + 4y = x^2 + 6x + 3$

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения относительно $x$:

$x^2 + (6 - 3y)x + (3 - 4y) = 0$

Это уравнение является квадратным при любом значении $y$, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (не равен нулю).Уравнение имеет действительные решения для $x$, если его дискриминант $D_x$ неотрицателен ($D_x \ge 0$).

$D_x = (6 - 3y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - 4y) = (36 - 36y + 9y^2) - (12 - 16y) = 9y^2 - 20y + 24$

Теперь решим неравенство $9y^2 - 20y + 24 \ge 0$.Для этого проанализируем квадратный трехчлен $f(y) = 9y^2 - 20y + 24$. Его график — парабола с ветвями, направленными вверх (так как $9 > 0$). Найдем дискриминант этого трехчлена, $D_y$:

$D_y = (-20)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 24 = 400 - 864 = -464$

Поскольку $D_y < 0$ и ветви параболы направлены вверх, трехчлен $9y^2 - 20y + 24$ принимает только положительные значения при всех действительных $y$.Таким образом, неравенство $D_x = 9y^2 - 20y + 24 \ge 0$ выполняется для любого $y \in \mathbb{R}$.

Это означает, что для любого действительного $y$ квадратное уравнение $x^2 + (6 - 3y)x + (3 - 4y) = 0$ имеет действительные корни. Нам осталось проверить, не совпадает ли один из этих корней со значением $x = -4/3$, которое не входит в область определения исходной функции.Предположим, что при некотором $y$ корень уравнения равен $x = -4/3$. Подставим это значение в уравнение:

$(-4/3)^2 + (6 - 3y)(-4/3) + (3 - 4y) = 0$

$16/9 - 24/3 + 4y + 3 - 4y = 0$

$16/9 - 8 + 3 = 0$

$16/9 - 5 = 0$

$16 = 45$

Полученное равенство является ложным. Это означает, что $x=-4/3$ не является корнем уравнения ни при каком значении $y$.Следовательно, для любого $y \in \mathbb{R}$ существует хотя бы одно значение $x$ (причем $x \neq -4/3$), удовлетворяющее исходному равенству.Значит, множество значений функции — все действительные числа.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.