Номер 1065, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1065, страница 348.

Условие.

1065. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2 - 3\sin x + 4\cos x$ на отрезке $\left[-\frac{4\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = 2 - 3\sin x + 4\cos x$ на отрезке $[-\frac{4\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$, необходимо найти значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку, и на концах этого отрезка, а затем сравнить полученные значения.

Первым шагом найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (2 - 3\sin x + 4\cos x)' = -3\cos x - 4\sin x$.

Далее, найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-3\cos x - 4\sin x = 0$

$4\sin x = -3\cos x$

Поскольку $\cos x = 0$ не является решением уравнения (в этом случае $\sin x = \pm 1$ и равенство $4(\pm 1) = 0$ неверно), разделим обе части на $\cos x$:

$\tan x = -\frac{3}{4}$.

Решения этого уравнения имеют вид $x = \arctan(-\frac{3}{4}) + \pi n$, где $n$ — целое число.

Теперь определим, какие из этих критических точек принадлежат отрезку $[-\frac{4\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$. Обозначим $\alpha = \arctan(-\frac{3}{4})$. Учитывая, что $-\frac{4\pi}{3} \approx -4.189$, $\frac{2\pi}{3} \approx 2.094$ и $\alpha \approx -0.6435$, проверим значения для разных целых $n$:

• При $n=0$, $x_0 = \alpha \approx -0.6435$. Это значение находится внутри отрезка $[-\frac{4\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$.
• При $n=-1$, $x_{-1} = \alpha - \pi \approx -0.6435 - 3.1416 = -3.7851$. Это значение также находится внутри отрезка, так как $-4.189 < -3.7851 < 2.094$.
• При $n=1$, $x_1 = \alpha + \pi \approx 2.4981$. Это значение больше $\frac{2\pi}{3}$ и не входит в отрезок.
• При $n=-2$, $x_{-2} = \alpha - 2\pi$ очевидно меньше $-\frac{4\pi}{3}$ и не входит в отрезок.

Итак, на заданном отрезке лежат две критические точки: $x_0 = \arctan(-\frac{3}{4})$ и $x_{-1} = \arctan(-\frac{3}{4}) - \pi$.

Для вычисления значений функции в этих точках и для общей оценки диапазона значений функции удобно преобразовать ее часть с синусом и косинусом с помощью введения вспомогательного угла. Выражение $4\cos x - 3\sin x$ можно представить в виде $R\cos(x-\phi)$, где $R = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9} = 5$, $\cos\phi = 4/5$, $\sin\phi = -3/5$. Отсюда $\phi = \arctan(-3/4)$, то есть $\phi$ совпадает с нашим $\alpha$.

Таким образом, исходную функцию можно записать в виде:

$y(x) = 2 + 5\cos(x - \alpha)$, где $\alpha = \arctan(-3/4)$.

Вычислим значения функции в найденных критических точках:

$y(x_0) = y(\alpha) = 2 + 5\cos(\alpha - \alpha) = 2 + 5\cos(0) = 2 + 5 \cdot 1 = 7$.

$y(x_{-1}) = y(\alpha - \pi) = 2 + 5\cos((\alpha - \pi) - \alpha) = 2 + 5\cos(-\pi) = 2 + 5 \cdot (-1) = -3$.

Теперь вычислим значения функции на концах отрезка:

При $x = \frac{2\pi}{3}$: $y(\frac{2\pi}{3}) = 2 - 3\sin(\frac{2\pi}{3}) + 4\cos(\frac{2\pi}{3}) = 2 - 3(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 4(-\frac{1}{2}) = 2 - \frac{3\sqrt{3}}{2} - 2 = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

При $x = -\frac{4\pi}{3}$: $y(-\frac{4\pi}{3}) = 2 - 3\sin(-\frac{4\pi}{3}) + 4\cos(-\frac{4\pi}{3}) = 2 - 3(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 4(-\frac{1}{2}) = 2 - \frac{3\sqrt{3}}{2} - 2 = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Осталось сравнить все полученные значения: $7$, $-3$ и $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Приблизительное значение $-\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx -\frac{3 \cdot 1.732}{2} \approx -2.598$.

Сравнивая числа $7$, $-3$ и $-2.598$, получаем, что наибольшее значение равно $7$, а наименьшее равно $-3$.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $y_{max} = 7$, наименьшее значение функции $y_{min} = -3$.