Номер 1066, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1066, страница 348.

Условие.

1066. При каком значении $a$ наибольшее значение функции $y=x^3-3x+a$ на отрезке $[-2; 0]$ равно 5?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо найти значения функции в критических точках, которые принадлежат этому отрезку, и на концах отрезка. Затем следует сравнить полученные значения и выбрать из них самое большое.

Заданная функция: $y = x^3 - 3x + a$.
Заданный отрезок: $[-2; 0]$.

1. Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (x^3 - 3x + a)' = 3x^2 - 3$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю ($y' = 0$):

$3x^2 - 3 = 0$
$3(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

3. Определим, какие из найденных критических точек лежат в пределах отрезка $[-2; 0]$.

Точка $x = -1$ принадлежит отрезку $[-2; 0]$.
Точка $x = 1$ не принадлежит отрезку $[-2; 0]$.

4. Теперь вычислим значения функции в единственной подходящей критической точке $x = -1$ и на концах отрезка, то есть в точках $x = -2$ и $x = 0$.

При $x = -2$:
$y(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + a = -8 + 6 + a = a - 2$.

При $x = -1$:
$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + a = -1 + 3 + a = a + 2$.

При $x = 0$:
$y(0) = 0^3 - 3(0) + a = 0 - 0 + a = a$.

5. Сравним полученные значения: $a - 2$, $a + 2$ и $a$.
Наибольшим из этих трех значений является $a + 2$.
Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке $[-2; 0]$ равно $y_{наиб.} = a + 2$.

6. По условию задачи, наибольшее значение функции равно 5. Составим и решим уравнение:

$a + 2 = 5$
$a = 5 - 2$
$a = 3$

Таким образом, при $a = 3$ наибольшее значение функции $y = x^3 - 3x + a$ на отрезке $[-2; 0]$ равно 5.

Ответ: $a=3$.