Номер 1071, страница 349 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1071, страница 349.

Условие.

(1071–1073).

1071.

1) $f(x)=4x^3+6x^2;$

2) $f(x)=3x^2-2x^3;$

3) $f(x)=\frac{1}{3}x^3-x;$

4) $f(x)=x^4-\frac{1}{2}x^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для исследования функций найдем их производные, критические точки, промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума.

1) $f(x) = 4x^3 + 6x^2$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = \mathbb{R}$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (4x^3 + 6x^2)' = 4 \cdot 3x^2 + 6 \cdot 2x = 12x^2 + 12x$.
3. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$12x^2 + 12x = 0$
$12x(x + 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.
4. Определяем знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, \infty)$.
- При $x \in (-\infty, -1)$, например $x = -2$, $f'(-2) = 12(-2)^2 + 12(-2) = 48 - 24 = 24 > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (-1, 0)$, например $x = -0.5$, $f'(-0.5) = 12(-0.5)^2 + 12(-0.5) = 3 - 6 = -3 < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (0, \infty)$, например $x = 1$, $f'(1) = 12(1)^2 + 12(1) = 24 > 0$. Функция возрастает.
5. Находим точки экстремума.
- В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. $y_{max} = f(-1) = 4(-1)^3 + 6(-1)^2 = -4 + 6 = 2$.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = f(0) = 4(0)^3 + 6(0)^2 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, \infty)$; убывает на промежутке $[-1, 0]$; точка максимума $x_{max} = -1$, $y_{max} = 2$; точка минимума $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$.

2) $f(x) = 3x^2 - 2x^3$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = \mathbb{R}$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (3x^2 - 2x^3)' = 3 \cdot 2x - 2 \cdot 3x^2 = 6x - 6x^2$.
3. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$6x - 6x^2 = 0$
$6x(1 - x) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.
4. Определяем знаки производной на интервалах: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, $(1, \infty)$.
- При $x \in (-\infty, 0)$, например $x = -1$, $f'(-1) = 6(-1) - 6(-1)^2 = -6 - 6 = -12 < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (0, 1)$, например $x = 0.5$, $f'(0.5) = 6(0.5) - 6(0.5)^2 = 3 - 1.5 = 1.5 > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (1, \infty)$, например $x = 2$, $f'(2) = 6(2) - 6(2)^2 = 12 - 24 = -12 < 0$. Функция убывает.
5. Находим точки экстремума.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = f(0) = 3(0)^2 - 2(0)^3 = 0$.
- В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. $y_{max} = f(1) = 3(1)^2 - 2(1)^3 = 3 - 2 = 1$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1, \infty)$; возрастает на промежутке $[0, 1]$; точка минимума $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$; точка максимума $x_{max} = 1$, $y_{max} = 1$.

3) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = \mathbb{R}$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 1 = x^2 - 1$.
3. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$x^2 - 1 = 0$
$(x - 1)(x + 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.
4. Определяем знаки производной на интервалах: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, \infty)$.
- При $x \in (-\infty, -1)$, например $x = -2$, $f'(-2) = (-2)^2 - 1 = 3 > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (-1, 1)$, например $x = 0$, $f'(0) = 0^2 - 1 = -1 < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (1, \infty)$, например $x = 2$, $f'(2) = 2^2 - 1 = 3 > 0$. Функция возрастает.
5. Находим точки экстремума.
- В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. $y_{max} = f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.
- В точке $x = 1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$; убывает на промежутке $[-1, 1]$; точка максимума $x_{max} = -1$, $y_{max} = \frac{2}{3}$; точка минимума $x_{min} = 1$, $y_{min} = -\frac{2}{3}$.

4) $f(x) = x^4 - \frac{1}{2}x^2$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = \mathbb{R}$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^4 - \frac{1}{2}x^2)' = 4x^3 - \frac{1}{2} \cdot 2x = 4x^3 - x$.
3. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$4x^3 - x = 0$
$x(4x^2 - 1) = 0$
$x(2x - 1)(2x + 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{2}$, $x_3 = -\frac{1}{2}$.
4. Определяем знаки производной на интервалах: $(-\infty, -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}, 0)$, $(0, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, \infty)$.
- При $x \in (-\infty, -\frac{1}{2})$, например $x = -1$, $f'(-1) = 4(-1)^3 - (-1) = -3 < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (-\frac{1}{2}, 0)$, например $x = -0.1$, $f'(-0.1) = 4(-0.1)^3 - (-0.1) = -0.004 + 0.1 = 0.096 > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (0, \frac{1}{2})$, например $x = 0.1$, $f'(0.1) = 4(0.1)^3 - 0.1 = 0.004 - 0.1 = -0.096 < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (\frac{1}{2}, \infty)$, например $x = 1$, $f'(1) = 4(1)^3 - 1 = 3 > 0$. Функция возрастает.
5. Находим точки экстремума.
- В точке $x = -\frac{1}{2}$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума. $y_{min} = f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^4 - \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{16} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16} - \frac{1}{8} = -\frac{1}{16}$.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума. $y_{max} = f(0) = 0^4 - \frac{1}{2}(0)^2 = 0$.
- В точке $x = \frac{1}{2}$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума. $y_{min} = f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^4 - \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{16} - \frac{1}{8} = -\frac{1}{16}$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -\frac{1}{2}]$ и $[0, \frac{1}{2}]$; возрастает на промежутках $[-\frac{1}{2}, 0]$ и $[\frac{1}{2}, \infty)$; точка максимума $x_{max} = 0$, $y_{max} = 0$; точки минимума $x_{min} = \pm\frac{1}{2}$, $y_{min} = -\frac{1}{16}$.