Номер 1064, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1064, страница 348.

Условие.

1064. 1) $y = \ln x - x$ на отрезке $[0{,}5; 4];$

2) $y = x \sqrt{1 - x^2}$ на отрезке $[0; 1].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y=\ln x - x$ на отрезке $[0,5; 4]$, необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем сравнить их.
Область определения функции $y=\ln x - x$ — это $x > 0$. Заданный отрезок $[0,5; 4]$ полностью входит в область определения.
1. Найдем производную функции:$y' = (\ln x - x)' = \frac{1}{x} - 1$.
2. Найдем критические точки, решив уравнение $y'=0$:$\frac{1}{x} - 1 = 0 \implies \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1$.
3. Критическая точка $x=1$ принадлежит отрезку $[0,5; 4]$.
4. Вычислим значения функции в критической точке $x=1$ и на концах отрезка $x=0,5$ и $x=4$:$y(1) = \ln(1) - 1 = 0 - 1 = -1$.
$y(0,5) = \ln(0,5) - 0,5 = -\ln 2 - 0,5$.
$y(4) = \ln(4) - 4 = 2\ln 2 - 4$.
5. Сравним полученные значения. Используя приближенное значение $\ln 2 \approx 0,693$, получим:$y(1) = -1$.
$y(0,5) \approx -0,693 - 0,5 = -1,193$.
$y(4) \approx 2 \cdot 0,693 - 4 = 1,386 - 4 = -2,614$.
Сравнивая числа $-1$, $-1,193$ и $-2,614$, видим, что наибольшее значение равно $-1$, а наименьшее равно $2\ln 2 - 4 = \ln 4 - 4$.
Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $y_{наиб} = -1$, наименьшее значение $y_{наим} = \ln 4 - 4$.

2) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y=x\sqrt{1-x^2}$ на отрезке $[0; 1]$, применим тот же алгоритм.
Область определения функции задается неравенством $1-x^2 \ge 0$, то есть $-1 \le x \le 1$. Заданный отрезок $[0; 1]$ входит в область определения.
1. Найдем производную функции, используя правило производной произведения $(uv)'=u'v+uv'$:$y' = (x\sqrt{1-x^2})' = (x)'\sqrt{1-x^2} + x(\sqrt{1-x^2})' = 1 \cdot \sqrt{1-x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$.
Приведем к общему знаменателю:$y' = \frac{(\sqrt{1-x^2})^2 - x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-x^2 - x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$.
2. Найдем критические точки.Производная равна нулю, когда числитель равен нулю: $1-2x^2=0 \implies 2x^2=1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Производная не определена, когда знаменатель равен нулю: $\sqrt{1-x^2}=0 \implies 1-x^2=0 \implies x = \pm 1$.
3. Из всех найденных точек ($-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, -1, 1$) выберем те, что принадлежат отрезку $[0; 1]$. Это точки $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x=1$.
4. Вычислим значения функции в этих точках и на другом конце отрезка, в точке $x=0$:$y(0) = 0 \cdot \sqrt{1-0^2} = 0$.
$y\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1-\frac{2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
$y(1) = 1 \cdot \sqrt{1-1^2} = 1 \cdot 0 = 0$.
5. Сравним полученные значения: $0$, $\frac{1}{2}$ и $0$. Наибольшее из них равно $\frac{1}{2}$, а наименьшее равно $0$.
Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $y_{наиб} = \frac{1}{2}$, наименьшее значение $y_{наим} = 0$.