Номер 1059, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1059, страница 348.

Условие.

1059. Найти промежутки монотонности функции:

1) $y = \frac{x^2+1}{x^2-1}$;$

2) $y = \frac{x^2-1}{x}$.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для функции $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

Далее, найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)' = \frac{(x^2 + 1)'(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(x^2 - 1)'}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2}$

$y' = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}$

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{-4x}{(x^2 - 1)^2} = 0 \implies -4x = 0 \implies x = 0$.

Критическая точка $x=0$ и точки разрыва $x=-1$ и $x=1$ разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов. Знак $y'$ зависит только от знака числителя $-4x$, так как знаменатель $(x^2 - 1)^2$ всегда положителен в области определения.

• На интервалах $(-\infty, -1)$ и $(-1, 0)$ имеем $x < 0$, поэтому $-4x > 0$, и $y' > 0$. Следовательно, функция возрастает на этих интервалах.
• На интервалах $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$ имеем $x > 0$, поэтому $-4x < 0$, и $y' < 0$. Следовательно, функция убывает на этих интервалах.

Так как функция непрерывна в точке $x=0$, эту точку можно включить в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; 0]$; убывает на промежутках $[0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

2) Для функции $y = \frac{x^2 - 1}{x}$.

Область определения функции: знаменатель не равен нулю, т.е. $x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции. Удобно представить функцию в виде $y = x - \frac{1}{x}$.

$y' = (x - \frac{1}{x})' = 1 - (-1)x^{-2} = 1 + \frac{1}{x^2}$.

Также можно использовать правило частного:

$y' = \left(\frac{x^2-1}{x}\right)' = \frac{(x^2-1)'x - (x^2-1)x'}{x^2} = \frac{2x \cdot x - (x^2-1) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 + 1}{x^2} = \frac{x^2+1}{x^2}$.

Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{x^2+1}{x^2} = 0$.

Это уравнение не имеет действительных решений, так как числитель $x^2 + 1$ всегда больше или равен 1. Следовательно, стационарных точек нет.

Проанализируем знак производной $y' = \frac{x^2+1}{x^2}$ на области определения. И числитель ($x^2 + 1$), и знаменатель ($x^2$) всегда положительны для любого $x \neq 0$. Значит, $y' > 0$ на всей области определения.

Поскольку производная всегда положительна, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.