Номер 1055, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1055, страница 348.

Условие.

1055. Найти угол между осью $Ox$ и касательной к графику функции $y=\frac{2}{3}\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)$ в точке с абсциссой $x=\frac{\pi}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угол $\alpha$, образованный касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и положительным направлением оси $Ox$, определяется тангенсом угла наклона. Тангенс угла наклона касательной равен значению производной функции в точке касания:

$\tan(\alpha) = k = f'(x_0)$

где $k$ — угловой коэффициент касательной.

Заданная функция: $y = \frac{2}{3}\cos\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$.

Точка касания имеет абсциссу $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1. Нахождение производной функции

Для нахождения производной $y'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом):

$y'(x) = \left(\frac{2}{3}\cos\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)\right)'$

$y'(x) = \frac{2}{3} \cdot \left(-\sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)\right) \cdot \left(3x - \frac{\pi}{6}\right)'$

Производная внутреннего аргумента $(3x - \frac{\pi}{6})$ равна 3. Подставляем это значение:

$y'(x) = \frac{2}{3} \cdot \left(-\sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)\right) \cdot 3 = -2\sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$

2. Вычисление значения производной в точке $x_0$

Теперь найдем угловой коэффициент касательной, вычислив значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$k = y'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -2\sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}\right)$

Упростим выражение под знаком синуса:

$k = -2\sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right)$

Используя формулу приведения $\sin(\pi - \beta) = \sin(\beta)$, получаем:

$k = -2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$

Зная, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, находим значение коэффициента:

$k = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$

3. Нахождение угла

Мы нашли, что тангенс угла наклона касательной равен -1:

$\tan(\alpha) = -1$

Углом наклона прямой к оси $Ox$ принято считать угол $\alpha$, принадлежащий интервалу $[0, \pi)$. Решением уравнения $\tan(\alpha) = -1$ на этом интервале является:

$\alpha = \frac{3\pi}{4}$

Этот угол в градусной мере составляет $135^\circ$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$ (или $135^\circ$).