Номер 1050, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1050, страница 347.

Условие.

1050. На параболе $y=3x^2+7x+1$ найти такую точку, в которой касательная к параболе образует с осью абсцисс угол $\frac{\pi}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Условие задачи состоит в том, чтобы найти на параболе $y = 3x^2 + 7x + 1$ точку, в которой касательная к ней образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox) угол $\frac{\pi}{4}$.

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = y'(x_0)$. Также угловой коэффициент связан с углом наклона $\alpha$ касательной к оси абсцисс формулой $k = \tan(\alpha)$.

Согласно условию, угол наклона $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Вычислим угловой коэффициент касательной:

$k = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$

Теперь найдем производную данной функции $y = 3x^2 + 7x + 1$:

$y' = (3x^2 + 7x + 1)' = 3 \cdot (x^2)' + 7 \cdot (x)' + (1)' = 3 \cdot 2x + 7 \cdot 1 + 0 = 6x + 7$

Приравняем выражение для производной к вычисленному значению углового коэффициента $k=1$, чтобы найти абсциссу $x$ искомой точки касания:

$6x + 7 = 1$

Решим полученное линейное уравнение:

$6x = 1 - 7$

$6x = -6$

$x = -1$

Мы нашли абсциссу точки касания. Для нахождения ординаты этой точки подставим найденное значение $x = -1$ в исходное уравнение параболы:

$y = 3(-1)^2 + 7(-1) + 1 = 3 \cdot 1 - 7 + 1 = 3 - 7 + 1 = -3$

Следовательно, искомая точка на параболе имеет координаты $(-1, -3)$.

Ответ: $(-1, -3)$