Номер 1056, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1056, страница 348.

Условие.

1056. Записать уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x^3+1}{3}$ в точке его пересечения с осью $Ox$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точку касания

Точка касания — это точка пересечения графика функции $f(x) = \frac{x^3 + 1}{3}$ с осью Ox. В этой точке значение функции равно нулю, т.е. $f(x) = 0$.

Приравняем функцию к нулю, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$\frac{x^3 + 1}{3} = 0$

Умножим обе части на 3:

$x^3 + 1 = 0$

$x^3 = -1$

$x_0 = \sqrt[3]{-1} = -1$

Теперь найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = -1$ в исходную функцию:

$f(x_0) = f(-1) = \frac{(-1)^3 + 1}{3} = \frac{-1 + 1}{3} = \frac{0}{3} = 0$

Итак, точка касания имеет координаты $(-1, 0)$.

2. Найти производную функции

Найдем производную функции $f(x) = \frac{x^3 + 1}{3}$. Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{3}$.

$f'(x) = \left(\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{3}\right)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' + (\frac{1}{3})' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 0 = x^2$

3. Вычислить значение производной в точке касания

Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной. Подставим $x_0 = -1$ в выражение для производной:

$f'(x_0) = f'(-1) = (-1)^2 = 1$

4. Составить уравнение касательной

Теперь у нас есть все необходимые компоненты для уравнения касательной: $x_0 = -1$, $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = 1$. Подставим их в общую формулу:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

$y = 0 + 1 \cdot (x - (-1))$

$y = 1 \cdot (x + 1)$

$y = x + 1$

Ответ: $y = x + 1$