Номер 1054, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1054, страница 347.

Условие.

1054. Найти тангенс угла, который касательная к графику функции $y = x^2 e^{-x}$ в точке с абсциссой $x = 1$ образует с осью $Ox$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $\tan(\alpha) = y'(x_0)$.

Дана функция $y = x^2e^{-x}$.

Для нахождения тангенса угла наклона касательной необходимо сначала найти производную данной функции. Будем использовать правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x^2e^{-x})' = (x^2)' \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (e^{-x})'$

Производная от $x^2$ равна $2x$.

Производная от $e^{-x}$ (как сложной функции) равна $e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$.

Подставляем найденные производные в формулу:

$y' = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x}$

Вынесем общий множитель $xe^{-x}$ за скобки:

$y' = xe^{-x}(2 - x)$

Теперь найдем значение производной в точке с абсциссой $x_0 = 1$, подставив это значение в выражение для производной:

$y'(1) = 1 \cdot e^{-1}(2 - 1) = e^{-1} \cdot 1 = e^{-1} = \frac{1}{e}$

Таким образом, тангенс угла, который касательная к графику функции $y = x^2e^{-x}$ в точке $x = 1$ образует с осью $Ox$, равен $\frac{1}{e}$.

Ответ: $\frac{1}{e}$