Номер 1047, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1047, страница 347.

Условие.

1047. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $y=3x^3-1$ в точке с ординатой $y=2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной этой функции в абсциссе точки касания. Формула для углового коэффициента $k$ имеет вид: $k = f'(x_0)$, где $x_0$ — абсцисса точки касания.

Дана функция $y = 3x^3 - 1$.

1. Нахождение абсциссы точки касания.

По условию, ордината (значение $y$) точки касания равна 2. Чтобы найти соответствующую абсциссу $x_0$, подставим $y = 2$ в уравнение функции:

$2 = 3x_0^3 - 1$

Теперь решим это уравнение относительно $x_0$:

$3x_0^3 = 2 + 1$

$3x_0^3 = 3$

$x_0^3 = 1$

$x_0 = \sqrt[3]{1} = 1$

Таким образом, абсцисса точки касания равна 1.

2. Нахождение производной функции.

Найдем производную функции $y = 3x^3 - 1$. Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило, что производная константы равна нулю.

$y' = (3x^3 - 1)' = (3x^3)' - (1)' = 3 \cdot 3x^{3-1} - 0 = 9x^2$

3. Вычисление углового коэффициента.

Теперь вычислим значение производной в найденной точке $x_0 = 1$:

$k = y'(1) = 9 \cdot (1)^2 = 9 \cdot 1 = 9$

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с ординатой $y=2$ равен 9.

Ответ: 9