Номер 1057, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1057, страница 348.

Условие.

1057. Записать уравнение касательной к графику функции

$f(x)=\sqrt{x^3+1}$

в точке с абсциссой $x=4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В данной задаче нам дана функция $f(x) = \sqrt{x^3} + 1$ и абсцисса точки касания $x_0 = 4$.

Для нахождения уравнения касательной необходимо выполнить несколько шагов.

Нахождение значения функции в точке касания

Сначала найдем значение функции в точке $x_0 = 4$, то есть $f(4)$.

$f(4) = \sqrt{4^3} + 1 = \sqrt{64} + 1 = 8 + 1 = 9$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(4; 9)$.

Нахождение производной функции

Теперь найдем производную функции $f(x)$. Для удобства представим функцию в виде $f(x) = x^{3/2} + 1$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$f'(x) = (x^{3/2} + 1)' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} + 0 = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$.

Нахождение значения производной в точке касания

Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной. Вычислим $f'(4)$:

$f'(4) = \frac{3\sqrt{4}}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$.

Составление уравнения касательной

Теперь у нас есть все необходимые данные: $x_0 = 4$, $f(x_0) = 9$ и $f'(x_0) = 3$. Подставим эти значения в общую формулу уравнения касательной:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

$y = 9 + 3(x - 4)$

Раскроем скобки и упростим выражение, чтобы получить окончательный вид уравнения:

$y = 9 + 3x - 12$

$y = 3x - 3$

Ответ: $y = 3x - 3$.