Номер 1076, страница 349 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1076, страница 349.

Условие.

1076. В правильной пирамиде $SABC$ из вершины $S$ проведена высота $SO$. Найти сторону основания пирамиды, если объём пирамиды является наибольшим при условии, что $SO + AC = 9$ и $1 \leq AC \leq 8$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть сторона основания $AC$ правильной пирамиды $SABC$ равна $a$, а высота $SO$ равна $h$. Согласно условию задачи, имеем два соотношения:
1) $SO + AC = 9$, что в наших обозначениях записывается как $h + a = 9$. Отсюда выразим высоту: $h = 9 - a$.
2) $1 \le AC \le 8$, то есть $1 \le a \le 8$. Это задаёт область определения для стороны основания.

Поскольку пирамида $SABC$ правильная, её основанием является равносторонний треугольник $ABC$. Площадь основания $S_{осн}$ вычисляется по формуле для площади равностороннего треугольника: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Объём пирамиды $V$ находится по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$. Подставим в неё выражения для площади основания и высоты, чтобы получить функцию объёма, зависящую только от переменной $a$: $V(a) = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot (9 - a) = \frac{\sqrt{3}}{12} (9a^2 - a^3)$.

Задача сводится к нахождению такого значения $a$ на отрезке $[1, 8]$, при котором функция $V(a)$ принимает наибольшее значение. Для этого найдём производную функции $V(a)$ по переменной $a$: $V'(a) = \left( \frac{\sqrt{3}}{12} (9a^2 - a^3) \right)' = \frac{\sqrt{3}}{12} (18a - 3a^2)$.

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю: $\frac{\sqrt{3}}{12} (18a - 3a^2) = 0$. Поскольку множитель $\frac{\sqrt{3}}{12}$ не равен нулю, то должно выполняться равенство: $18a - 3a^2 = 0$ $3a(6 - a) = 0$. Отсюда получаем две критические точки: $a_1 = 0$ и $a_2 = 6$.

Точка $a_1 = 0$ не принадлежит рассматриваемому отрезку $[1, 8]$. Точка $a_2 = 6$ принадлежит этому отрезку. Наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку, либо на его концах. Поэтому сравним значения объёма в точках $a=1$, $a=6$ и $a=8$. Поскольку постоянный множитель $\frac{\sqrt{3}}{12}$ является положительным, для сравнения значений $V(a)$ достаточно сравнить значения выражения $f(a) = 9a^2 - a^3$:
При $a=1$: $f(1) = 9(1)^2 - 1^3 = 9 - 1 = 8$.
При $a=6$: $f(6) = 9(6)^2 - 6^3 = 9 \cdot 36 - 216 = 324 - 216 = 108$.
При $a=8$: $f(8) = 9(8)^2 - 8^3 = 9 \cdot 64 - 512 = 576 - 512 = 64$.

Сравнивая полученные результаты ($108 > 64 > 8$), видим, что наибольшее значение достигается при $a=6$. Следовательно, объём пирамиды будет наибольшим, когда сторона её основания равна 6.

Ответ: 6.