Номер 1073, страница 349 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1073, страница 349.

Условие.

1073. 1) $y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 9;$

2) $y = -x^4 + 6x^2 - 9;$

3) $y = \frac{x^2+1}{x};$

4) $y = \frac{x^2+2}{2x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 9$

1. Область определения функции — все действительные числа, так как функция является многочленом: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Находим производную функции для определения интервалов монотонности и точек экстремума:
$y' = (\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 9)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x - 3 = x^2 - 2x - 3$.

3. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:
$y' = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$.
Решаем квадратное уравнение, например, по теореме Виета: произведение корней равно -3, а сумма равна 2. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Это стационарные точки, так как производная в них равна нулю.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty, -1)$, $(-1, 3)$, $(3, +\infty)$.
- На интервале $(-\infty, -1)$, например, при $x = -2$: $y'(-2) = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0$. Следовательно, функция возрастает на этом интервале.
- На интервале $(-1, 3)$, например, при $x = 0$: $y'(0) = 0^2 - 2(0) - 3 = -3 < 0$. Следовательно, функция убывает на этом интервале.
- На интервале $(3, +\infty)$, например, при $x = 4$: $y'(4) = 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0$. Следовательно, функция возрастает на этом интервале.

5. Определяем точки экстремума и значения функции в этих точках:
- В точке $x = -1$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 9 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 9 = 11 - \frac{1}{3} = \frac{32}{3}$.
- В точке $x = 3$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + 9 = 9 - 9 - 9 + 9 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[3, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, 3]$. Точка максимума $x_{max} = -1$, $y_{max} = \frac{32}{3}$. Точка минимума $x_{min} = 3$, $y_{min} = 0$.

2) $y = -x^4 + 6x^2 - 9$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Находим производную: $y' = (-x^4 + 6x^2 - 9)' = -4x^3 + 12x$.

3. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:
$-4x^3 + 12x = 0$
$-4x(x^2 - 3) = 0$
$-4x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{3}$, $x_3 = -\sqrt{3}$.

4. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty, -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, \sqrt{3})$, $(\sqrt{3}, +\infty)$.
- При $x < -\sqrt{3}$ (например, $x=-2$): $y'(-2) = -4(-8) + 12(-2) = 32 - 24 = 8 > 0$, функция возрастает.
- При $-\sqrt{3} < x < 0$ (например, $x=-1$): $y'(-1) = -4(-1) + 12(-1) = 4 - 12 = -8 < 0$, функция убывает.
- При $0 < x < \sqrt{3}$ (например, $x=1$): $y'(1) = -4(1) + 12(1) = 8 > 0$, функция возрастает.
- При $x > \sqrt{3}$ (например, $x=2$): $y'(2) = -4(8) + 12(2) = -32 + 24 = -8 < 0$, функция убывает.

5. Определяем точки экстремума:
- В точке $x = -\sqrt{3}$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка локального максимума. $y_{max} = y(-\sqrt{3}) = -(-\sqrt{3})^4 + 6(-\sqrt{3})^2 - 9 = -9 + 6(3) - 9 = 0$.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = -0^4 + 6(0)^2 - 9 = -9$.
- В точке $x = \sqrt{3}$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка локального максимума. $y_{max} = y(\sqrt{3}) = -(\sqrt{3})^4 + 6(\sqrt{3})^2 - 9 = -9 + 18 - 9 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -\sqrt{3}]$ и $[0, \sqrt{3}]$, убывает на промежутках $[-\sqrt{3}, 0]$ и $[\sqrt{3}, +\infty)$. Точки максимума $x_{max} = \pm\sqrt{3}$, $y_{max} = 0$. Точка минимума $x_{min} = 0$, $y_{min} = -9$.

3) $y = \frac{x^2+1}{x}$

1. Область определения функции: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Для удобства можно переписать функцию: $y = \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$.

2. Находим производную: $y' = (x + \frac{1}{x})' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$.

3. Находим критические точки. Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения. Приравниваем производную к нулю:
$\frac{x^2 - 1}{x^2} = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1$.
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

4. Исследуем знак производной. Знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$, поэтому знак производной определяется знаком числителя $x^2 - 1$.
- На интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$, выражение $x^2 - 1$ положительно ($y' > 0$), значит функция возрастает.
- На интервалах $(-1, 0)$ и $(0, 1)$, выражение $x^2 - 1$ отрицательно ($y' < 0$), значит функция убывает.

5. Определяем точки экстремума:
- В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка локального максимума. $y_{max} = y(-1) = \frac{(-1)^2+1}{-1} = \frac{2}{-1} = -2$.
- В точке $x = 1$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка локального минимума. $y_{min} = y(1) = \frac{1^2+1}{1} = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутках $[-1, 0)$ и $(0, 1]$. Точка максимума $x_{max} = -1$, $y_{max} = -2$. Точка минимума $x_{min} = 1$, $y_{min} = 2$.

4) $y = \frac{x^2+2}{2x}$

1. Область определения функции: $2x \neq 0 \implies x \neq 0$. $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Перепишем функцию: $y = \frac{x^2}{2x} + \frac{2}{2x} = \frac{x}{2} + \frac{1}{x}$.

2. Находим производную: $y' = (\frac{x}{2} + \frac{1}{x})' = \frac{1}{2} - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 2}{2x^2}$.

3. Находим критические точки. Производная не существует при $x=0$ (не входит в область определения). Приравниваем производную к нулю:
$\frac{x^2 - 2}{2x^2} = 0 \implies x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm \sqrt{2}$.
Критические точки: $x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = \sqrt{2}$.

4. Исследуем знак производной. Знаменатель $2x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$, поэтому знак производной определяется знаком числителя $x^2 - 2$.
- На интервалах $(-\infty, -\sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}, +\infty)$, выражение $x^2 - 2$ положительно ($y' > 0$), значит функция возрастает.
- На интервалах $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(0, \sqrt{2})$, выражение $x^2 - 2$ отрицательно ($y' < 0$), значит функция убывает.

5. Определяем точки экстремума:
- В точке $x = -\sqrt{2}$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка локального максимума. $y_{max} = y(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2+2}{2(-\sqrt{2})} = \frac{2+2}{-2\sqrt{2}} = \frac{4}{-2\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.
- В точке $x = \sqrt{2}$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка локального минимума. $y_{min} = y(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2+2}{2\sqrt{2}} = \frac{2+2}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}, +\infty)$, убывает на промежутках $[-\sqrt{2}, 0)$ и $(0, \sqrt{2}]$. Точка максимума $x_{max} = -\sqrt{2}$, $y_{max} = -\sqrt{2}$. Точка минимума $x_{min} = \sqrt{2}$, $y_{min} = \sqrt{2}$.