Номер 1077, страница 349 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1077, страница 349.

Условие.

1077. В правильной четырёхугольной призме диагональ равна $2\sqrt{3}$. При какой высоте призмы её объём наибольший?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $a$ – сторона основания правильной четырёхугольной призмы, а $h$ – её высота. Поскольку призма правильная, в её основании лежит квадрат.

Объём призмы $V$ вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h = a^2 h$.

Диагональ призмы $D$ связана со стороной основания $a$ и высотой $h$ соотношением, которое следует из теоремы Пифагора. Сначала найдем квадрат диагонали основания $d$: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю призмы $D$, диагональю основания $d$ и высотой призмы $h$. По теореме Пифагора: $D^2 = d^2 + h^2$.

Подставим выражение для $d^2$: $D^2 = 2a^2 + h^2$.

По условию задачи диагональ призмы $D = 2\sqrt{3}$. Тогда её квадрат равен: $D^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Получаем уравнение, связывающее размеры призмы: $12 = 2a^2 + h^2$.

Наша цель – найти высоту $h$, при которой объём $V$ будет наибольшим. Для этого выразим объём $V$ как функцию одной переменной $h$. Из последнего уравнения выразим $a^2$: $2a^2 = 12 - h^2$ $a^2 = \frac{12 - h^2}{2}$.

Подставим это выражение для $a^2$ в формулу объёма: $V(h) = a^2 h = \left(\frac{12 - h^2}{2}\right)h = \frac{12h - h^3}{2} = 6h - \frac{1}{2}h^3$.

Чтобы найти наибольшее значение функции $V(h)$, нужно найти её производную по $h$ и приравнять к нулю. Также учтём, что геометрические размеры должны быть положительными, то есть $h > 0$ и $a^2 > 0$, откуда $12 - h^2 > 0 \Rightarrow h^2 < 12 \Rightarrow h < \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. Таким образом, мы ищем максимум на интервале $(0; 2\sqrt{3})$.

Найдём производную функции объёма: $V'(h) = (6h - \frac{1}{2}h^3)' = 6 - \frac{1}{2} \cdot 3h^2 = 6 - \frac{3}{2}h^2$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $6 - \frac{3}{2}h^2 = 0$ $6 = \frac{3}{2}h^2$ $12 = 3h^2$ $h^2 = 4$ $h = \pm 2$.

Поскольку высота $h$ должна быть положительной, выбираем значение $h = 2$. Это значение входит в наш интервал $(0; 2\sqrt{3})$, так как $2\sqrt{3} \approx 3.46$.

Чтобы убедиться, что при $h = 2$ достигается именно максимум, воспользуемся второй производной: $V''(h) = (6 - \frac{3}{2}h^2)' = - \frac{3}{2} \cdot 2h = -3h$.

При $h = 2$, вторая производная $V''(2) = -3 \cdot 2 = -6$. Так как $V''(2) < 0$, точка $h = 2$ является точкой максимума.

Таким образом, объём призмы будет наибольшим при высоте $h = 2$.

Ответ: 2.