Номер 1106, страница 351 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1106, страница 351.

Условие.

1106. Графику функции $y = x^3 + ax^2 + bx + c$ принадлежат точки А и В, симметричные относительно прямой $x = -2$. Касательные к этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку (0; 1), а другая — через точку (0; 5). Найти $a, b, c$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дана функция $y = f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Ее производная: $y' = f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$.

1. Анализ условия симметрии и параллельности касательных.

Пусть точки $A$ и $B$ имеют координаты $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$. Поскольку точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $x = -2$, их абсциссы удовлетворяют условию: $ \frac{x_A + x_B}{2} = -2 $, откуда $x_A + x_B = -4$.

Касательные к графику в точках $A$ и $B$ параллельны, значит, их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент касательной в точке равен значению производной в этой точке. Следовательно, $f'(x_A) = f'(x_B)$. $3x_A^2 + 2ax_A + b = 3x_B^2 + 2ax_B + b$ $3x_A^2 - 3x_B^2 + 2ax_A - 2ax_B = 0$ $3(x_A - x_B)(x_A + x_B) + 2a(x_A - x_B) = 0$ Так как $A$ и $B$ — разные точки, $x_A \neq x_B$, и мы можем разделить обе части уравнения на $(x_A - x_B)$: $3(x_A + x_B) + 2a = 0$

Мы знаем, что $x_A + x_B = -4$. Подставим это значение в полученное уравнение: $3(-4) + 2a = 0$ $-12 + 2a = 0$ $2a = 12$ $a = 6$

2. Использование уравнений касательных.

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Пусть $k$ — общий угловой коэффициент параллельных касательных, $k = f'(x_A) = f'(x_B)$. Уравнение касательной в точке $A$: $y = y_A + k(x - x_A)$. Уравнение касательной в точке $B$: $y = y_B + k(x - x_B)$.

Из-за симметрии относительно вертикальной прямой $x=-2$ для кубической параболы $y = x^3 + 6x^2 + bx + c$ следует, что ординаты точек $A$ и $B$ равны, то есть $y_A = y_B$. (Это также можно доказать, приравняв $f(x_A) = f(x_B)$).

Одна касательная проходит через точку $(0; 1)$, а другая — через точку $(0; 5)$. Подставим $x=0$ в уравнения касательных: Для касательной в точке $A$: $1 = y_A + k(0 - x_A) \Rightarrow 1 = y_A - kx_A$. Для касательной в точке $B$: $5 = y_B + k(0 - x_B) \Rightarrow 5 = y_B - kx_B$.

Получили систему уравнений: $ \begin{cases} y_A - kx_A = 1 \\ y_B - kx_B = 5 \end{cases} $ Поскольку $y_A = y_B$, вычтем из второго уравнения первое: $(y_B - kx_B) - (y_A - kx_A) = 5 - 1$ $-kx_B + kx_A = 4$ $k(x_A - x_B) = 4$

Из $x_B = -4 - x_A$ следует, что $x_A - x_B = x_A - (-4 - x_A) = 2x_A + 4$. Подставим это в предыдущее равенство: $k(2x_A + 4) = 4$

Теперь найдем выражение для $k$. С учетом $a=6$: $k = f'(x_A) = 3x_A^2 + 2(6)x_A + b = 3x_A^2 + 12x_A + b$. Также используем условие $f(x_A) = f(x_B)$: $x_A^3 + 6x_A^2 + bx_A + c = x_B^3 + 6x_B^2 + bx_B + c$ $x_A^3 - x_B^3 + 6(x_A^2 - x_B^2) + b(x_A - x_B) = 0$ Делим на $(x_A - x_B)$: $(x_A^2 + x_A x_B + x_B^2) + 6(x_A + x_B) + b = 0$ Подставляем $x_A + x_B = -4$ и $x_B = -4 - x_A$: $x_A^2 + x_A(-4-x_A) + (-4-x_A)^2 + 6(-4) + b = 0$ $x_A^2 - 4x_A - x_A^2 + 16 + 8x_A + x_A^2 - 24 + b = 0$ $x_A^2 + 4x_A - 8 + b = 0$, откуда $b = 8 - 4x_A - x_A^2$.

Подставим это выражение для $b$ в формулу для $k$: $k = 3x_A^2 + 12x_A + (8 - 4x_A - x_A^2) = 2x_A^2 + 8x_A + 8 = 2(x_A^2 + 4x_A + 4) = 2(x_A + 2)^2$.

Теперь вернемся к уравнению $k(2x_A + 4) = 4$: $2(x_A + 2)^2 \cdot (2x_A + 4) = 4$ $2(x_A + 2)^2 \cdot 2(x_A + 2) = 4$ $4(x_A + 2)^3 = 4$ $(x_A + 2)^3 = 1$ $x_A + 2 = 1 \Rightarrow x_A = -1$.

3. Нахождение коэффициентов b и c.

Зная $x_A = -1$, находим $b$: $b = 8 - 4x_A - x_A^2 = 8 - 4(-1) - (-1)^2 = 8 + 4 - 1 = 11$.

Теперь найдем $c$. Найдем угловой коэффициент $k$: $k = 2(x_A + 2)^2 = 2(-1 + 2)^2 = 2(1)^2 = 2$. Найдем ординату точки $A(x_A, y_A) = A(-1, y_A)$: $y_A = f(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = -1 + a - b + c$. Подставим найденные $a=6$ и $b=11$: $y_A = -1 + 6 - 11 + c = c - 6$.

Используем уравнение для одной из касательных, например, $y_A - kx_A = 1$: $(c - 6) - (2)(-1) = 1$ $c - 6 + 2 = 1$ $c - 4 = 1$ $c = 5$.

Таким образом, мы нашли все коэффициенты: $a = 6$, $b = 11$, $c = 5$.

Ответ: $a=6$, $b=11$, $c=5$.