Номер 1099, страница 351 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

1099. 1) $y=9-x^2$, $y=(x-1)^2-4$;

2) $y=x^2$, $y=\sqrt[3]{x}$.

Для нахождения площади фигур, ограниченных двумя линиями, необходимо найти точки их пересечения (пределы интегрирования) и вычислить определенный интеграл от разности «верхней» и «нижней» функций.

1) $y = 9 - x^2$ и $y = (x - 1)^2 - 4$

1. Найдем точки пересечения:
   $9 - x^2 = (x - 1)^2 - 4$
   $9 - x^2 = x^2 - 2x + 1 - 4$
   $2x^2 - 2x - 12 = 0$
   $x^2 - x - 6 = 0$
   По теореме Виета: $x_1 = -2, x_2 = 3$.
2. Определим верхнюю функцию:
   На интервале $(-2; 3)$ возьмем $x = 0$:
   $y_1 = 9 - 0^2 = 9$ (верхняя);
   $y_2 = (0 - 1)^2 - 4 = -3$ (нижняя).
3. Вычислим площадь: $$S = \int_{-2}^{3} ((9 - x^2) - (x^2 - 2x - 3)) dx = \int_{-2}^{3} (-2x^2 + 2x + 12) dx$$ $$S = \left( -\frac{2x^3}{3} + x^2 + 12x \right) \Big|_{-2}^{3}$$ $$S = \left( -\frac{2 \cdot 27}{3} + 9 + 36 \right) - \left( -\frac{2 \cdot (-8)}{3} + 4 - 24 \right)$$ $$S = (-18 + 45) - (5\frac{1}{3} - 20) = 27 - (-14\frac{2}{3}) = 41\frac{2}{3}$$

Ответ: $41\frac{2}{3}$;

2) $y = x^2$ и $y = \sqrt[3]{x}$

1. Найдем точки пересечения:
   $x^2 = \sqrt[3]{x} \Rightarrow x^6 = x \Rightarrow x(x^5 - 1) = 0$
   $x_1 = 0, x_2 = 1$.
2. Определим верхнюю функцию:
   На интервале $(0; 1)$ возьмем $x = 0,125$ (или $1/8$):
   $y_1 = (1/8)^2 = 1/64$;
   $y_2 = \sqrt[3]{1/8} = 1/2$.
   Функция $y = \sqrt[3]{x}$ выше.
3. Вычислим площадь: $$S = \int_{0}^{1} (\sqrt[3]{x} - x^2) dx = \int_{0}^{1} (x^{1/3} - x^2) dx$$ $$S = \left( \frac{x^{4/3}}{4/3} - \frac{x^3}{3} \right) \Big|_{0}^{1} = \left( \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} - \frac{x^3}{3} \right) \Big|_{0}^{1}$$ $$S = (\frac{3}{4} - \frac{1}{3}) - (0) = \frac{9 - 4}{12} = \frac{5}{12}$$

Ответ: $\frac{5}{12}$.