Номер 1099, страница 351 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1099, страница 351.

Условие.

1099. 1) $y=9-x^2$, $y=(x-1)^2-4$;

2) $y=x^2$, $y=\sqrt[3]{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Задача заключается в нахождении площади фигуры, ограниченной заданными линиями. Для этого используется определенный интеграл от разности функций, ограничивающих фигуру сверху и снизу.

1) $y=9-x^2$, $y=(x-1)^2-4$

Сначала найдем точки пересечения графиков функций, приравняв их правые части:

$9 - x^2 = (x-1)^2 - 4$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$9 - x^2 = x^2 - 2x + 1 - 4$

$9 - x^2 = x^2 - 2x - 3$

$2x^2 - 2x - 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$. Это будут пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций принимает большее значение на интервале $(-2, 3)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x=0$.

При $x=0$, $y_1 = 9 - 0^2 = 9$.

При $x=0$, $y_2 = (0-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.

Поскольку $9 > -3$, функция $y=9-x^2$ является верхней границей фигуры, а $y=(x-1)^2-4$ - нижней.

Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} (y_{верх} - y_{нижн}) dx$

$S = \int_{-2}^{3} ((9-x^2) - ((x-1)^2-4)) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$(9 - x^2) - (x^2 - 2x - 3) = 9 - x^2 - x^2 + 2x +