Номер 1030, страница 346 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1030, страница 346.

Условие.

Найти область определения функции (1030—1033).

1030. 1) $y = 2^x + \lg(6 - 3x)$;

2) $y = 3^{-x} - 2\ln(2x + 4)$;

3) $y = \frac{1}{\cos 2x}$;

4) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для функции $y = 2^x + \lg(6 - 3x)$ область определения находится из следующих условий. Слагаемое $2^x$ (показательная функция) определено для всех действительных чисел $x$. Для слагаемого $\lg(6 - 3x)$ (десятичный логарифм) выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.
Составим и решим неравенство:
$6 - 3x > 0$
$-3x > -6$
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x < 2$
Областью определения функции является пересечение областей определения ее слагаемых, то есть интервал $(-\infty; 2)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 2)$.

2) Для функции $y = 3^{-x} - 2\ln(2x + 4)$ область определения также зависит от логарифмического члена. Показательная функция $3^{-x}$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Для натурального логарифма $\ln(2x + 4)$ его аргумент должен быть строго больше нуля.
Решим неравенство:
$2x + 4 > 0$
$2x > -4$
$x > -2$
Таким образом, область определения функции — это интервал $(-2; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-2; +\infty)$.

3) Функция $y = \frac{1}{\cos(2x)}$ определена, когда ее знаменатель не обращается в ноль.
Поэтому необходимо решить условие:
$\cos(2x) \neq 0$
Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$.
Разделив обе части на 2, получим:
$x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Область определения — все действительные числа, кроме указанных.
Ответ: $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) Область определения функции тангенса $y = \tg(t)$ исключает значения, при которых $\cos(t) = 0$. В данном случае $t = \frac{x}{4}$.
Следовательно, условие для области определения функции $y = \tg\frac{x}{4}$ таково:
$\cos\frac{x}{4} \neq 0$
Это эквивалентно тому, что аргумент косинуса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$\frac{x}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$
Умножим обе части на 4:
$x \neq 4 \left( \frac{\pi}{2} + \pi k \right)$
$x \neq 2\pi + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Область определения — все действительные числа, кроме этих значений.
Ответ: $x \neq 2\pi + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.