Номер 990, страница 341 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 990, страница 341.

Условие.

990. В ящике 10 деталей, 4 из которых окрашены. Сборщик наугад взял 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи по теории вероятностей удобнее использовать метод нахождения вероятности через противоположное событие.

Пусть событие $A$ заключается в том, что "хотя бы одна из взятых деталей окрашена". Тогда противоположное ему событие $\bar{A}$ заключается в том, что "ни одна из взятых деталей не окрашена", то есть все три взятые детали являются неокрашенными.

Вероятность события $A$ вычисляется по формуле: $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

1. Найдем общее число возможных исходов.
Всего в ящике 10 деталей. Сборщик берет 3 детали. Общее число способов выбрать 3 детали из 10 равно числу сочетаний из 10 по 3:
$N = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.
Таким образом, существует 120 различных способов выбрать 3 детали из 10.

2. Найдем число исходов, благоприятствующих событию $\bar{A}$.
Событие $\bar{A}$ — "все три взятые детали неокрашенные".
Количество окрашенных деталей — 4, общее количество — 10. Значит, неокрашенных деталей: $10 - 4 = 6$.
Число способов выбрать 3 неокрашенные детали из 6 имеющихся неокрашенных равно числу сочетаний из 6 по 3:
$m = C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.
Итак, существует 20 способов выбрать 3 неокрашенные детали.

3. Найдем вероятность события $\bar{A}$.
Вероятность события $\bar{A}$ по классическому определению вероятности равна отношению числа благоприятствующих исходов $m$ к общему числу исходов $N$:
$P(\bar{A}) = \frac{m}{N} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$.

4. Найдем искомую вероятность события $A$.
Вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена, равна:
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$