Номер 984, страница 340 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 984, страница 340.

Условие.

984. В цветочный магазин поставили 50 красных, 100 белых и 150 жёлтых гвоздик.

1) Сколько различных букетов по 3 гвоздики в каждом можно составить из имеющихся цветов?

2) Сколько различных букетов, состоящих из одной красной, одной белой и одной жёлтой гвоздик, можно собрать из имеющихся цветов?

3) Сколько различных букетов, содержащих 2 красные, 2 белые и одну жёлтую гвоздики, можно составить из имеющихся цветов?

4) Сколько различных букетов, содержащих 3 красные, одну белую и 5 жёлтых гвоздик, можно составить из имеющихся цветов?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) В этом вопросе под "различными букетами" понимаются различные сочетания цветов. Например, букет из трёх красных гвоздик считается одним видом букета, а букет из двух красных и одной белой — другим. Поскольку количество цветов каждого вида (50, 100, 150) значительно больше, чем количество цветов в букете (3), мы можем считать, что запас цветов каждого вида неограничен для составления одного букета.
Эта задача решается с помощью формулы сочетаний с повторениями: $C_{n+k-1}^k = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$, где $n$ — количество видов предметов (у нас 3 вида цветов: красные, белые, жёлтые), а $k$ — количество предметов в наборе (у нас 3 гвоздики в букете).
Подставляем наши значения: $n=3$, $k=3$.
Число различных букетов = $C_{3+3-1}^3 = C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10$.
Возможные составы букетов: (3к), (3б), (3ж), (2к, 1б), (2к, 1ж), (1к, 2б), (1к, 2ж), (2б, 1ж), (1б, 2ж), (1к, 1б, 1ж). Всего 10 вариантов.
Ответ: 10

2) Здесь мы составляем букеты из конкретных цветов, и цветы одного цвета считаются различными. Нам нужно выбрать 1 красную, 1 белую и 1 жёлтую гвоздику. Это задача на правило произведения в комбинаторике.
Количество способов выбрать 1 красную гвоздику из 50: $C_{50}^1 = 50$.
Количество способов выбрать 1 белую гвоздику из 100: $C_{100}^1 = 100$.
Количество способов выбрать 1 жёлтую гвоздику из 150: $C_{150}^1 = 150$.
Общее количество различных букетов равно произведению этих способов:
$N = C_{50}^1 \cdot C_{100}^1 \cdot C_{150}^1 = 50 \cdot 100 \cdot 150 = 750\ 000$.
Ответ: 750 000

3) Эта задача аналогична предыдущей и решается с помощью правила произведения. Нам нужно выбрать 2 красные, 2 белые и 1 жёлтую гвоздику.
Количество способов выбрать 2 красные гвоздики из 50: $C_{50}^2 = \frac{50!}{2!(50-2)!} = \frac{50 \cdot 49}{2} = 1225$.
Количество способов выбрать 2 белые гвоздики из 100: $C_{100}^2 = \frac{100!}{2!(100-2)!} = \frac{100 \cdot 99}{2} = 4950$.
Количество способов выбрать 1 жёлтую гвоздику из 150: $C_{150}^1 = 150$.
Общее количество различных букетов:
$N = C_{50}^2 \cdot C_{100}^2 \cdot C_{150}^1 = 1225 \cdot 4950 \cdot 150 = 909\ 562\ 500$.
Ответ: 909 562 500

4) Снова применяем правило произведения для выбора 3 красных, 1 белой и 5 жёлтых гвоздик.
Количество способов выбрать 3 красные гвоздики из 50: $C_{50}^3 = \frac{50!}{3!(50-3)!} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 19\ 600$.
Количество способов выбрать 1 белую гвоздику из 100: $C_{100}^1 = 100$.
Количество способов выбрать 5 жёлтых гвоздик из 150: $C_{150}^5 = \frac{150!}{5!(150-5)!} = \frac{150 \cdot 149 \cdot 148 \cdot 147 \cdot 146}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 591\ 599\ 030$.
Общее количество различных букетов:
$N = C_{50}^3 \cdot C_{100}^1 \cdot C_{150}^5 = 19\ 600 \cdot 100 \cdot 591\ 599\ 030 = 1\ 159\ 534\ 098\ 800\ 000$.
Ответ: 1 159 534 098 800 000