Номер 904, страница 333 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 904, страница 333.

Условие.

904. 1) $2^{-x+5} < \frac{1}{4}$; •

2) $(\frac{1}{3})^{|x-2|} > \frac{1}{27}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дано показательное неравенство $2^{-x+5} < \frac{1}{4}$.

Для решения приведем обе части неравенства к одному основанию. В данном случае это основание 2.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 2:

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$2^{-x+5} < 2^{-2}$

Так как основание степени $a=2$ больше единицы ($a > 1$), показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Это означает, что для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$-x+5 < -2$

Решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

Перенесем 5 в правую часть:

$-x < -2 - 5$

$-x < -7$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 7$

Решением неравенства является интервал $(7, +\infty)$.

Ответ: $x \in (7, +\infty)$.

2)

Дано показательное неравенство $(\frac{1}{3})^{|x-2|} > \frac{1}{27}$.

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Удобно использовать основание $\frac{1}{3}$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$:

$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$

Подставим это в исходное неравенство:

$(\frac{1}{3})^{|x-2|} > (\frac{1}{3})^3$

Так как основание степени $a=\frac{1}{3}$ меньше единицы, но больше нуля ($0 < a < 1$), показательная функция $y=(\frac{1}{3})^t$ является убывающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$|x-2| < 3$

Это неравенство с модулем равносильно двойному неравенству:

$-3 < x-2 < 3$

Чтобы найти $x$, прибавим 2 ко всем частям двойного неравенства:

$-3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2$

$-1 < x < 5$

Решением неравенства является интервал $(-1, 5)$.

Ответ: $x \in (-1, 5)$.