Номер 902, страница 333 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 902, страница 333.
№902 (с. 333)
Условие. №902 (с. 333)
скриншот условия

902. Найти все пары целых чисел x и y, для которых верны три неравенства:
1) $3y - x < 5$, $x + y > 26$, $3x - 2y < 46$;
2) $3y - 5x > 16$, $3y - x < 44$, $3x - y > 1$.
Решение 1. №902 (с. 333)


Решение 2. №902 (с. 333)


Решение 3. №902 (с. 333)
1)
Дана система из трех неравенств, где $x$ и $y$ — целые числа:
$3y - x < 5$
$x + y > 26$
$3x - 2y < 46$
Для решения этой системы скомбинируем неравенства, чтобы ограничить возможные значения одной из переменных. Выразим $x$ из каждого неравенства:
Из первого: $x > 3y - 5$
Из второго: $x > 26 - y$
Из третьего: $3x < 46 + 2y \implies x < \frac{46 + 2y}{3}$
Теперь мы можем составить два двойных неравенства для $x$, используя верхнюю границу и каждую из нижних границ. Это позволит нам найти ограничения для $y$.
Комбинация второй и третьей границ для $x$ дает:
$26 - y < x < \frac{46 + 2y}{3}$
Отсюда следует, что нижняя граница должна быть меньше верхней:
$26 - y < \frac{46 + 2y}{3}$
$3(26 - y) < 46 + 2y$
$78 - 3y < 46 + 2y$
$32 < 5y \implies y > \frac{32}{5} = 6.4$
Комбинация первой и третьей границ для $x$ дает:
$3y - 5 < x < \frac{46 + 2y}{3}$
Отсюда следует:
$3y - 5 < \frac{46 + 2y}{3}$
$3(3y - 5) < 46 + 2y$
$9y - 15 < 46 + 2y$
$7y < 61 \implies y < \frac{61}{7} \approx 8.71$
Таким образом, мы получили двойное неравенство для целого числа $y$:
$6.4 < y < 8.71$
Единственные целые числа в этом интервале — это $y=7$ и $y=8$. Проверим оба варианта.
Случай 1: $y = 7$
Подставляем $y=7$ в неравенства для $x$:
$x > 3(7) - 5 \implies x > 16$
$x > 26 - 7 \implies x > 19$
$x < \frac{46 + 2(7)}{3} = \frac{60}{3} \implies x < 20$
Объединяя условия, получаем $19 < x < 20$. В этом интервале нет целых чисел $x$.
Случай 2: $y = 8$
Подставляем $y=8$ в неравенства для $x$:
$x > 3(8) - 5 \implies x > 19$
$x > 26 - 8 \implies x > 18$
$x < \frac{46 + 2(8)}{3} = \frac{62}{3} \approx 20.67$
Объединяя условия ($x > 19$ и $x < 20.67$), получаем $19 < x < 20.67$. Единственное целое число $x$ в этом интервале — это $x = 20$.
Таким образом, найдена единственная пара $(20, 8)$. Проверим ее, подставив в исходную систему:
$3(8) - 20 = 24 - 20 = 4 < 5$ (верно)
$20 + 8 = 28 > 26$ (верно)
$3(20) - 2(8) = 60 - 16 = 44 < 46$ (верно)
Все неравенства выполняются.
Ответ: $(20, 8)$.
2)
Дана система из трех неравенств, где $x$ и $y$ — целые числа:
$3y - 5x > 16$
$3y - x < 44$
$3x - y > 1$
Для решения этой системы скомбинируем неравенства, чтобы ограничить возможные значения одной из переменных. Удобно работать с выражением $3y$.
Из первого неравенства: $3y > 5x + 16$
Из второго неравенства: $3y < x + 44$
Из третьего неравенства: $y < 3x - 1 \implies 3y < 9x - 3$
Скомбинируем первое и второе неравенства:
$5x + 16 < 3y < x + 44$
Отсюда следует, что $5x + 16 < x + 44$:
$4x < 28 \implies x < 7$
Теперь скомбинируем первое и третье неравенства:
$5x + 16 < 3y < 9x - 3$
Отсюда следует, что $5x + 16 < 9x - 3$:
$19 < 4x \implies x > \frac{19}{4} = 4.75$
Таким образом, мы получили двойное неравенство для целого числа $x$:
$4.75 < x < 7$
Единственные целые числа в этом интервале — это $x=5$ и $x=6$. Проверим оба варианта.
Случай 1: $x = 5$
Подставляем $x=5$ в неравенства для $y$:
$3y - 5(5) > 16 \implies 3y > 41 \implies y > \frac{41}{3} \approx 13.67$
$3(5) - y > 1 \implies 15 - y > 1 \implies y < 14$
Объединяя условия, получаем $13.67 < y < 14$. В этом интервале нет целых чисел $y$.
Случай 2: $x = 6$
Подставляем $x=6$ в неравенства для $y$:
$3y - 5(6) > 16 \implies 3y > 46 \implies y > \frac{46}{3} \approx 15.33$
$3y - 6 < 44 \implies 3y < 50 \implies y < \frac{50}{3} \approx 16.67$
$3(6) - y > 1 \implies 18 - y > 1 \implies y < 17$
Объединяя условия, получаем $15.33 < y < 16.67$. Единственное целое число $y$ в этом интервале — это $y = 16$. (Условие $y < 17$ также выполняется).
Таким образом, найдена единственная пара $(6, 16)$. Проверим ее, подставив в исходную систему:
$3(16) - 5(6) = 48 - 30 = 18 > 16$ (верно)
$3(16) - 6 = 48 - 6 = 42 < 44$ (верно)
$3(6) - 16 = 18 - 16 = 2 > 1$ (верно)
Все неравенства выполняются.
Ответ: $(6, 16)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 902 расположенного на странице 333 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №902 (с. 333), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.