Номер 902, страница 333 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 902, страница 333.

Условие.

902. Найти все пары целых чисел x и y, для которых верны три неравенства:

1) $3y - x < 5$, $x + y > 26$, $3x - 2y < 46$;

2) $3y - 5x > 16$, $3y - x < 44$, $3x - y > 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана система из трех неравенств, где $x$ и $y$ — целые числа:

$3y - x < 5$

$x + y > 26$

$3x - 2y < 46$

Для решения этой системы скомбинируем неравенства, чтобы ограничить возможные значения одной из переменных. Выразим $x$ из каждого неравенства:

Из первого: $x > 3y - 5$

Из второго: $x > 26 - y$

Из третьего: $3x < 46 + 2y \implies x < \frac{46 + 2y}{3}$

Теперь мы можем составить два двойных неравенства для $x$, используя верхнюю границу и каждую из нижних границ. Это позволит нам найти ограничения для $y$.

Комбинация второй и третьей границ для $x$ дает:

$26 - y < x < \frac{46 + 2y}{3}$

Отсюда следует, что нижняя граница должна быть меньше верхней:

$26 - y < \frac{46 + 2y}{3}$

$3(26 - y) < 46 + 2y$

$78 - 3y < 46 + 2y$

$32 < 5y \implies y > \frac{32}{5} = 6.4$

Комбинация первой и третьей границ для $x$ дает:

$3y - 5 < x < \frac{46 + 2y}{3}$

Отсюда следует:

$3y - 5 < \frac{46 + 2y}{3}$

$3(3y - 5) < 46 + 2y$

$9y - 15 < 46 + 2y$

$7y < 61 \implies y < \frac{61}{7} \approx 8.71$

Таким образом, мы получили двойное неравенство для целого числа $y$:

$6.4 < y < 8.71$

Единственные целые числа в этом интервале — это $y=7$ и $y=8$. Проверим оба варианта.

Случай 1: $y = 7$

Подставляем $y=7$ в неравенства для $x$:

$x > 3(7) - 5 \implies x > 16$

$x > 26 - 7 \implies x > 19$

$x < \frac{46 + 2(7)}{3} = \frac{60}{3} \implies x < 20$

Объединяя условия, получаем $19 < x < 20$. В этом интервале нет целых чисел $x$.

Случай 2: $y = 8$

Подставляем $y=8$ в неравенства для $x$:

$x > 3(8) - 5 \implies x > 19$

$x > 26 - 8 \implies x > 18$

$x < \frac{46 + 2(8)}{3} = \frac{62}{3} \approx 20.67$

Объединяя условия ($x > 19$ и $x < 20.67$), получаем $19 < x < 20.67$. Единственное целое число $x$ в этом интервале — это $x = 20$.

Таким образом, найдена единственная пара $(20, 8)$. Проверим ее, подставив в исходную систему:

$3(8) - 20 = 24 - 20 = 4 < 5$ (верно)

$20 + 8 = 28 > 26$ (верно)

$3(20) - 2(8) = 60 - 16 = 44 < 46$ (верно)

Все неравенства выполняются.

Ответ: $(20, 8)$.

2)

Дана система из трех неравенств, где $x$ и $y$ — целые числа:

$3y - 5x > 16$

$3y - x < 44$

$3x - y > 1$

Для решения этой системы скомбинируем неравенства, чтобы ограничить возможные значения одной из переменных. Удобно работать с выражением $3y$.

Из первого неравенства: $3y > 5x + 16$

Из второго неравенства: $3y < x + 44$

Из третьего неравенства: $y < 3x - 1 \implies 3y < 9x - 3$

Скомбинируем первое и второе неравенства:

$5x + 16 < 3y < x + 44$

Отсюда следует, что $5x + 16 < x + 44$:

$4x < 28 \implies x < 7$

Теперь скомбинируем первое и третье неравенства:

$5x + 16 < 3y < 9x - 3$

Отсюда следует, что $5x + 16 < 9x - 3$:

$19 < 4x \implies x > \frac{19}{4} = 4.75$

Таким образом, мы получили двойное неравенство для целого числа $x$:

$4.75 < x < 7$

Единственные целые числа в этом интервале — это $x=5$ и $x=6$. Проверим оба варианта.

Случай 1: $x = 5$

Подставляем $x=5$ в неравенства для $y$:

$3y - 5(5) > 16 \implies 3y > 41 \implies y > \frac{41}{3} \approx 13.67$

$3(5) - y > 1 \implies 15 - y > 1 \implies y < 14$

Объединяя условия, получаем $13.67 < y < 14$. В этом интервале нет целых чисел $y$.

Случай 2: $x = 6$

Подставляем $x=6$ в неравенства для $y$:

$3y - 5(6) > 16 \implies 3y > 46 \implies y > \frac{46}{3} \approx 15.33$

$3y - 6 < 44 \implies 3y < 50 \implies y < \frac{50}{3} \approx 16.67$

$3(6) - y > 1 \implies 18 - y > 1 \implies y < 17$

Объединяя условия, получаем $15.33 < y < 16.67$. Единственное целое число $y$ в этом интервале — это $y = 16$. (Условие $y < 17$ также выполняется).

Таким образом, найдена единственная пара $(6, 16)$. Проверим ее, подставив в исходную систему:

$3(16) - 5(6) = 48 - 30 = 18 > 16$ (верно)

$3(16) - 6 = 48 - 6 = 42 < 44$ (верно)

$3(6) - 16 = 18 - 16 = 2 > 1$ (верно)

Все неравенства выполняются.

Ответ: $(6, 16)$.