Номер 899, страница 333 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 899, страница 333.

Условие.

899. При каких целых значениях m уравнение

$(m - 7)x^2 + 2(m - 7)x + 3 = 0$

не имеет действительных корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данное уравнение $(m-7)x^2 + 2(m-7)x + 3 = 0$ является уравнением с параметром $m$. Для того чтобы оно не имело действительных корней, необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от коэффициента при $x^2$.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $m-7=0$, откуда $m=7$. Подставим это значение в исходное уравнение, чтобы проверить, имеет ли оно корни:

$(7-7)x^2 + 2(7-7)x + 3 = 0$

$0 \cdot x^2 + 2 \cdot 0 \cdot x + 3 = 0$

$0 + 0 + 3 = 0$

$3 = 0$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что при $m=7$ исходное уравнение не имеет решений (и, следовательно, не имеет действительных корней). Таким образом, целое значение $m=7$ является одним из решений задачи.

Случай 2: Уравнение является квадратным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $m-7 \neq 0$, или $m \neq 7$. В этом случае мы имеем дело с квадратным уравнением вида $ax^2+bx+c=0$, где коэффициенты равны:

$a = m-7$

$b = 2(m-7)$

$c = 3$

Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго меньше нуля ($D < 0$).

Найдем дискриминант данного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (2(m-7))^2 - 4(m-7)(3) = 4(m-7)^2 - 12(m-7)$

Теперь решим неравенство $D < 0$ относительно $m$:

$4(m-7)^2 - 12(m-7) < 0$

Для решения вынесем общий множитель $4(m-7)$ за скобки:

$4(m-7) \cdot ((m-7) - 3) < 0$

$4(m-7)(m-10) < 0$

Разделим обе части неравенства на положительное число 4, знак неравенства при этом не изменится:

$(m-7)(m-10) < 0$

Это квадратичное неравенство. Его решение можно найти методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $(m-7)(m-10)=0$ — это $m_1=7$ и $m_2=10$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы. Парабола $y=(m-7)(m-10)$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между своими корнями.

Следовательно, решение неравенства есть интервал $7 < m < 10$.

По условию задачи, мы ищем целые значения $m$. Целыми числами, которые находятся в интервале $(7, 10)$, являются $8$ и $9$.

Объединение результатов.

В первом случае мы установили, что $m=7$ удовлетворяет условию.

Во втором случае мы нашли, что условию удовлетворяют целые значения $m=8$ и $m=9$.

Объединяя все найденные целые значения, получаем полный набор искомых значений $m$.

Ответ: $7, 8, 9$.