Номер 898, страница 333 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 898, страница 333.

Условие.

898. При каком наименьшем целом значении $m$ уравнение

$(m-1)x^2 - 2(m+1)x + m-3 = 0$

имеет два различных действительных корня?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данное уравнение $(m-1)x^2 - 2(m+1)x + m-3 = 0$ является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты зависят от параметра $m$:

• $a = m-1$
• $b = -2(m+1)$
• $c = m-3$

Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных действительных корня, должны выполняться два условия:

1. Уравнение должно быть действительно квадратным, то есть старший коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).
2. Дискриминант $D$ должен быть строго больше нуля ($D > 0$).

Рассмотрим оба условия последовательно.

1. Условие $a \neq 0$

Старший коэффициент $a = m-1$. Чтобы уравнение было квадратным, необходимо, чтобы $a \neq 0$.

$m-1 \neq 0$

$m \neq 1$

Если $m=1$, уравнение перестает быть квадратным и превращается в линейное: $(1-1)x^2 - 2(1+1)x + 1-3 = 0$, что упрощается до $-4x - 2 = 0$. Это уравнение имеет только один корень $x = -0.5$, что не удовлетворяет условию о двух различных корнях. Следовательно, значение $m=1$ необходимо исключить.

2. Условие $D > 0$

Найдем дискриминант уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Подставим наши коэффициенты:

$D = (-2(m+1))^2 - 4(m-1)(m-3)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D = 4(m+1)^2 - 4(m-1)(m-3)$

$D = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m^2 - 3m - m + 3)$

$D = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m^2 - 4m + 3)$

$D = 4m^2 + 8m + 4 - 4m^2 + 16m - 12$

Приведем подобные слагаемые:

$D = (4m^2 - 4m^2) + (8m + 16m) + (4 - 12)$

$D = 24m - 8$

Теперь решим неравенство $D > 0$:

$24m - 8 > 0$

$24m > 8$

$m > \frac{8}{24}$

$m > \frac{1}{3}$

3. Поиск наименьшего целого значения $m$

Мы получили два условия, которым должен удовлетворять параметр $m$:

• $m > \frac{1}{3}$
• $m \neq 1$

Нам нужно найти наименьшее целое значение $m$, удовлетворяющее этим условиям. Выпишем целые числа, которые больше $\frac{1}{3}$: $1, 2, 3, 4, \dots$

Наименьшее целое число в этом списке — это 1. Однако, как мы установили ранее, $m$ не может быть равно 1.

Следовательно, мы должны выбрать следующее по величине целое число, которое равно 2.

Значение $m=2$ удовлетворяет обоим условиям: $2 > \frac{1}{3}$ и $2 \neq 1$.

Таким образом, наименьшее целое значение $m$, при котором уравнение имеет два различных действительных корня, — это 2.

Ответ: 2