Номер 897, страница 333 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 897, страница 333.

Условие.

897. При каких значениях x выражение $lg(x^2 + 8x + 15)$ не имеет смысла?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Логарифмическое выражение $\lg(A)$ (десятичный логарифм) определено только для положительных значений аргумента $A$, то есть при $A > 0$. Соответственно, выражение не имеет смысла, когда его аргумент меньше или равен нулю.

В данном случае аргументом является квадратичная функция $x^2 + 8x + 15$. Чтобы найти, при каких значениях $x$ исходное выражение не имеет смысла, нужно решить неравенство:

$x^2 + 8x + 15 \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 8x + 15 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней должна быть равна $-8$, а их произведение $15$. Легко подобрать корни:

$x_1 = -5$ и $x_2 = -3$

(Проверка: $(-5) + (-3) = -8$; $(-5) \cdot (-3) = 15$).

Так как-то функция $y = x^2 + 8x + 15$ является параболой с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля), ее значения будут меньше или равны нулю на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является промежуток:

$-5 \le x \le -3$

Ответ: выражение не имеет смысла при $x \in [-5, -3]$.