Номер 900, страница 333 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 900, страница 333.

Условие.

900. При каком наибольшем целом значении $x$ выражение

$\frac{\frac{1}{2}x^2+3}{x^2-9x+14}$

принимает отрицательное значение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти, при каком наибольшем целом значении x данное выражение принимает отрицательное значение, необходимо решить неравенство:

$\frac{\frac{1}{2}x^2 + 3}{x^2 - 9x + 14} < 0$

Рассмотрим числитель дроби: $\frac{1}{2}x^2 + 3$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного значения x, то $\frac{1}{2}x^2 \ge 0$. Следовательно, выражение в числителе $\frac{1}{2}x^2 + 3 \ge 3$, то есть числитель всегда положителен.

Дробь будет отрицательной, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как числитель всегда положителен, для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был отрицательным:

$x^2 - 9x + 14 < 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 9x + 14 = 0$. Используем теорему Виета: сумма корней равна $9$, а их произведение равно $14$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.

Графиком функции $y = x^2 - 9x + 14$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны между ее корнями. Таким образом, решение неравенства $x^2 - 9x + 14 < 0$ — это интервал $(2; 7)$.

Нам нужно найти наибольшее целое значение x из этого интервала. Целые числа, принадлежащие интервалу $(2; 7)$, это 3, 4, 5, 6. Наибольшее из них — 6.

Ответ: 6.