Номер 888, страница 332 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 888, страница 332.

Условие.

Решить неравенство (888–895).

888. 1) $\frac{5x+4}{x-3} < 4;$

2) $\frac{2}{x-4} < 1;$

3) $\frac{2}{x+3} \le 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для решения неравенства $ \frac{5x+4}{x-3} < 4 $ перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$ \frac{5x+4}{x-3} - 4 < 0 $
$ \frac{5x+4 - 4(x-3)}{x-3} < 0 $
$ \frac{5x+4 - 4x + 12}{x-3} < 0 $
$ \frac{x+16}{x-3} < 0 $
Применим метод интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $ x+16=0 \Rightarrow x=-16 $ и $ x-3=0 \Rightarrow x=3 $.
Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $ (-\infty, -16) $, $ (-16, 3) $ и $ (3, \infty) $. Так как неравенство строгое, точки $ x=-16 $ и $ x=3 $ не включаются в решение.
Определим знак дроби на каждом интервале:
- При $ x \in (-\infty, -16) $, (например, $ x=-20 $), дробь $ \frac{-20+16}{-20-3} = \frac{-4}{-23} > 0 $ (знак "+").
- При $ x \in (-16, 3) $, (например, $ x=0 $), дробь $ \frac{0+16}{0-3} = -\frac{16}{3} < 0 $ (знак "-").
- При $ x \in (3, \infty) $, (например, $ x=4 $), дробь $ \frac{4+16}{4-3} = 20 > 0 $ (знак "+").
Поскольку знак неравенства "<", нас интересует интервал, где выражение отрицательно.
Ответ: $ x \in (-16, 3) $

2)

Для решения неравенства $ \frac{2}{x-4} < 1 $ перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$ \frac{2}{x-4} - 1 < 0 $
$ \frac{2 - (x-4)}{x-4} < 0 $
$ \frac{2 - x + 4}{x-4} < 0 $
$ \frac{6-x}{x-4} < 0 $
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$ \frac{x-6}{x-4} > 0 $
Применим метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $ x=6 $ и $ x=4 $.
Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $ (-\infty, 4) $, $ (4, 6) $ и $ (6, \infty) $.
Определим знак дроби $ \frac{x-6}{x-4} $ на каждом интервале:
- При $ x \in (-\infty, 4) $, (например, $ x=0 $), дробь $ \frac{0-6}{0-4} = \frac{3}{2} > 0 $ (знак "+").
- При $ x \in (4, 6) $, (например, $ x=5 $), дробь $ \frac{5-6}{5-4} = -1 < 0 $ (знак "-").
- При $ x \in (6, \infty) $, (например, $ x=7 $), дробь $ \frac{7-6}{7-4} = \frac{1}{3} > 0 $ (знак "+").
Поскольку знак неравенства ">", нас интересуют интервалы, где выражение положительно.
Ответ: $ x \in (-\infty, 4) \cup (6, \infty) $

3)

Для решения неравенства $ \frac{2}{x+3} \le 4 $ перенесем 4 в левую часть:
$ \frac{2}{x+3} - 4 \le 0 $
Приведем к общему знаменателю:
$ \frac{2 - 4(x+3)}{x+3} \le 0 $
$ \frac{2 - 4x - 12}{x+3} \le 0 $
$ \frac{-4x-10}{x+3} \le 0 $
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства на противоположный:
$ \frac{4x+10}{x+3} \ge 0 $
Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Корень числителя: $ 4x+10=0 \Rightarrow x=-2.5 $. Эта точка включается в решение, так как неравенство нестрогое ($ \ge $).
Корень знаменателя: $ x+3=0 \Rightarrow x=-3 $. Эта точка исключается из решения, так как знаменатель не может быть равен нулю.
Точки разбивают числовую прямую на интервалы: $ (-\infty, -3) $, $ (-3, -2.5] $ и $ [-2.5, \infty) $.
Определим знак дроби $ \frac{4x+10}{x+3} $ на каждом интервале:
- При $ x \in (-\infty, -3) $, (например, $ x=-4 $), дробь $ \frac{4(-4)+10}{-4+3} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0 $ (знак "+").
- При $ x \in (-3, -2.5] $, (например, $ x=-2.6 $), дробь $ \frac{4(-2.6)+10}{-2.6+3} = \frac{-0.4}{0.4} = -1 < 0 $ (знак "-").
- При $ x \in [-2.5, \infty) $, (например, $ x=0 $), дробь $ \frac{10}{3} > 0 $ (знак "+").
Поскольку знак неравенства "$ \ge $", нас интересуют интервалы, где выражение положительно или равно нулю.
Ответ: $ x \in (-\infty, -3) \cup [-2.5, \infty) $