Номер 882, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 882, страница 331.
№882 (с. 331)
Условие. №882 (с. 331)
скриншот условия

882. Найти все корни уравнения $\cos x + (1 + \cos x)\mathrm{tg}^2 x - 1 = 0$, удовлетворяющие неравенству $\mathrm{tg} x > 0$.
Решение 1. №882 (с. 331)

Решение 2. №882 (с. 331)

Решение 3. №882 (с. 331)
Дано уравнение $\cos x + (1 + \cos x)\mathrm{tg}^2 x - 1 = 0$ и условие $\mathrm{tg} x > 0$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Тангенс определен, если его знаменатель не равен нулю, то есть $\cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Преобразуем исходное уравнение. Используем тригонометрическое тождество $\mathrm{tg}^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}$.
$\cos x + (1 + \cos x)\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x} - 1 = 0$
Заметим, что $1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$. Подставим это в уравнение:
$\cos x + \frac{(1 + \cos x)(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\cos^2 x} - 1 = 0$
$\cos x + \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)^2}{\cos^2 x} - 1 = 0$
Умножим все члены уравнения на $\cos^2 x$, чтобы избавиться от знаменателя (мы уже учли, что $\cos x \neq 0$):
$\cos^3 x + (1 - \cos x)(1 + \cos x)^2 - \cos^2 x = 0$
Раскроем скобки:
$(1 + \cos x)^2 = 1 + 2\cos x + \cos^2 x$
$(1 - \cos x)(1 + 2\cos x + \cos^2 x) = 1 + 2\cos x + \cos^2 x - \cos x - 2\cos^2 x - \cos^3 x = 1 + \cos x - \cos^2 x - \cos^3 x$
Подставим это обратно в уравнение:
$\cos^3 x + (1 + \cos x - \cos^2 x - \cos^3 x) - \cos^2 x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(\cos^3 x - \cos^3 x) + (-\cos^2 x - \cos^2 x) + \cos x + 1 = 0$
$-2\cos^2 x + \cos x + 1 = 0$
Умножим на -1 для удобства:
$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену $t = \cos x$. При этом $|t| \le 1$.
$2t^2 - t - 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к переменной $x$. Получаем два случая:
1) $\cos x = 1$
2) $\cos x = -1/2$
Теперь необходимо проверить, какие из этих корней удовлетворяют дополнительному условию $\mathrm{tg} x > 0$.
Случай 1: $\cos x = 1$.
Если $\cos x = 1$, то $\sin x = 0$. Тогда $\mathrm{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{0}{1} = 0$. Условие $\mathrm{tg} x > 0$ не выполняется, так как $0$ не больше $0$. Следовательно, корни этого случая ($x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$) не являются решениями задачи.
Случай 2: $\cos x = -1/2$.
Общее решение для этого уравнения: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Условие $\mathrm{tg} x > 0$ означает, что $\sin x$ и $\cos x$ должны иметь одинаковые знаки. Поскольку у нас $\cos x = -1/2$ (отрицательное значение), нам нужно, чтобы и $\sin x$ был отрицательным. Это соответствует углам, находящимся в III координатной четверти.
Рассмотрим две серии корней:
- $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$. Эти углы находятся во II координатной четверти, где $\sin x > 0$. Для этих углов $\mathrm{tg} x < 0$. Эта серия корней нам не подходит.
- $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$. Эти углы находятся в III координатной четверти (например, при $n=1$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$). Здесь $\sin x < 0$, и, следовательно, $\mathrm{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} > 0$. Эта серия корней удовлетворяет всем условиям задачи.
Таким образом, единственными решениями, удовлетворяющими всем условиям, являются $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 882 расположенного на странице 331 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №882 (с. 331), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.