Номер 882, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 882, страница 331.

Условие.

882. Найти все корни уравнения $\cos x + (1 + \cos x)\mathrm{tg}^2 x - 1 = 0$, удовлетворяющие неравенству $\mathrm{tg} x > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дано уравнение $\cos x + (1 + \cos x)\mathrm{tg}^2 x - 1 = 0$ и условие $\mathrm{tg} x > 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Тангенс определен, если его знаменатель не равен нулю, то есть $\cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем исходное уравнение. Используем тригонометрическое тождество $\mathrm{tg}^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}$.

$\cos x + (1 + \cos x)\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x} - 1 = 0$

Заметим, что $1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$. Подставим это в уравнение:

$\cos x + \frac{(1 + \cos x)(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\cos^2 x} - 1 = 0$

$\cos x + \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)^2}{\cos^2 x} - 1 = 0$

Умножим все члены уравнения на $\cos^2 x$, чтобы избавиться от знаменателя (мы уже учли, что $\cos x \neq 0$):

$\cos^3 x + (1 - \cos x)(1 + \cos x)^2 - \cos^2 x = 0$

Раскроем скобки:

$(1 + \cos x)^2 = 1 + 2\cos x + \cos^2 x$

$(1 - \cos x)(1 + 2\cos x + \cos^2 x) = 1 + 2\cos x + \cos^2 x - \cos x - 2\cos^2 x - \cos^3 x = 1 + \cos x - \cos^2 x - \cos^3 x$

Подставим это обратно в уравнение:

$\cos^3 x + (1 + \cos x - \cos^2 x - \cos^3 x) - \cos^2 x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(\cos^3 x - \cos^3 x) + (-\cos^2 x - \cos^2 x) + \cos x + 1 = 0$

$-2\cos^2 x + \cos x + 1 = 0$

Умножим на -1 для удобства:

$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену $t = \cos x$. При этом $|t| \le 1$.

$2t^2 - t - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к переменной $x$. Получаем два случая:

1) $\cos x = 1$

2) $\cos x = -1/2$

Теперь необходимо проверить, какие из этих корней удовлетворяют дополнительному условию $\mathrm{tg} x > 0$.

Случай 1: $\cos x = 1$.

Если $\cos x = 1$, то $\sin x = 0$. Тогда $\mathrm{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{0}{1} = 0$. Условие $\mathrm{tg} x > 0$ не выполняется, так как $0$ не больше $0$. Следовательно, корни этого случая ($x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$) не являются решениями задачи.

Случай 2: $\cos x = -1/2$.

Общее решение для этого уравнения: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Условие $\mathrm{tg} x > 0$ означает, что $\sin x$ и $\cos x$ должны иметь одинаковые знаки. Поскольку у нас $\cos x = -1/2$ (отрицательное значение), нам нужно, чтобы и $\sin x$ был отрицательным. Это соответствует углам, находящимся в III координатной четверти.

Рассмотрим две серии корней:

- $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$. Эти углы находятся во II координатной четверти, где $\sin x > 0$. Для этих углов $\mathrm{tg} x < 0$. Эта серия корней нам не подходит.

- $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$. Эти углы находятся в III координатной четверти (например, при $n=1$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$). Здесь $\sin x < 0$, и, следовательно, $\mathrm{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} > 0$. Эта серия корней удовлетворяет всем условиям задачи.

Таким образом, единственными решениями, удовлетворяющими всем условиям, являются $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.