Номер 880, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 880, страница 331.

Условие.

880. 1) $ \sin x + \cos x = \sqrt{1 + \operatorname{tg}x} $;

2) $ \sqrt{5\sin2x - 2} = \sin x - \cos x $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $ \sin x + \cos x = \sqrt{1 + \tg x} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения.
1. Выражение под знаком тангенса: $ \cos x \neq 0 $, что означает $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
2. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $ 1 + \tg x \ge 0 \implies \tg x \ge -1 $.
3. Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому левая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $ \sin x + \cos x \ge 0 $.

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
$ (\sin x + \cos x)^2 = 1 + \tg x $

Раскроем скобки в левой части и применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ 2\sin x \cos x = \sin(2x) $:
$ \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \tg x $
$ 1 + \sin(2x) = 1 + \tg x $
$ \sin(2x) = \tg x $

Заменим $ \sin(2x) $ и $ \tg x $ через функции от $ x $:
$ 2\sin x \cos x = \frac{\sin x}{\cos x} $

Перенесем все члены в одну сторону и вынесем общий множитель $ \sin x $:
$ 2\sin x \cos x - \frac{\sin x}{\cos x} = 0 $
$ \sin x \left(2\cos x - \frac{1}{\cos x}\right) = 0 $

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
а) $ \sin x = 0 $
б) $ 2\cos x - \frac{1}{\cos x} = 0 $

Решим каждое уравнение и проверим корни по ОДЗ.
а) $ \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Проверка по ОДЗ:
- $ \tg(\pi n) = 0 \ge -1 $. (Верно)
- Для $ x = 2\pi k $ (четные $ n $): $ \sin(2\pi k) + \cos(2\pi k) = 0 + 1 = 1 \ge 0 $. (Подходит)
- Для $ x = \pi + 2\pi k $ (нечетные $ n $): $ \sin(\pi + 2\pi k) + \cos(\pi + 2\pi k) = 0 - 1 = -1 < 0 $. (Не подходит)
Таким образом, из этого случая получаем решения: $ x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ 2\cos x - \frac{1}{\cos x} = 0 \implies 2\cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = \frac{1}{2} $.
Отсюда $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $ или $ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Проверка по ОДЗ:
- Условие $ \tg x \ge -1 $. Если $ \cos^2 x = 1/2 $, то $ \sin^2 x = 1/2 $. Тогда $ \tg^2 x = 1 $, и $ \tg x = \pm 1 $. Оба значения удовлетворяют условию $ \tg x \ge -1 $.
- Условие $ \sin x + \cos x \ge 0 $.
- Для $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $: $ \sin x + \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} > 0 $. (Подходит)
- Для $ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $: $ \sin x + \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \ge 0 $. (Подходит)
- Для $ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $: $ \sin x + \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \ge 0 $. (Подходит)
- Для $ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $: $ \sin x + \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} < 0 $. (Не подходит)
Решения $ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $ и $ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $ можно объединить в одну серию $ x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = 2\pi k; \quad x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k; \quad x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}. $

---

2) $ \sqrt{5\sin(2x) - 2} = \sin x - \cos x $

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
1. Выражение под корнем неотрицательно: $ 5\sin(2x) - 2 \ge 0 \implies \sin(2x) \ge \frac{2}{5} $.
2. Правая часть уравнения неотрицательна: $ \sin x - \cos x \ge 0 $.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$ 5\sin(2x) - 2 = (\sin x - \cos x)^2 $

Преобразуем правую часть:
$ 5\sin(2x) - 2 = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x $
Используя $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и $ 2\sin x \cos x = \sin(2x) $, получаем:
$ 5\sin(2x) - 2 = 1 - \sin(2x) $

Решим полученное уравнение относительно $ \sin(2x) $:
$ 6\sin(2x) = 3 $
$ \sin(2x) = \frac{1}{2} $

Проверим первое условие ОДЗ: $ \sin(2x) \ge \frac{2}{5} $.
Так как $ \frac{1}{2} = 0.5 $, а $ \frac{2}{5} = 0.4 $, то условие $ 0.5 \ge 0.4 $ выполняется.

Теперь найдем значения $ x $. Из $ \sin(2x) = \frac{1}{2} $ следует:
$ 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad $ или $ \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.
Отсюда получаем две серии решений для $ x $:
а) $ x = \frac{\pi}{12} + \pi k $
б) $ x = \frac{5\pi}{12} + \pi k $

Проверим эти решения по второму условию ОДЗ: $ \sin x - \cos x \ge 0 $, что эквивалентно $ \sin x \ge \cos x $. Это неравенство верно на промежутке $ \left[\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z} $.
а) Проверяем серию $ x = \frac{\pi}{12} + \pi k $:
- При $ k=2n $ (четное): $ x = \frac{\pi}{12} + 2\pi n $. Угол $ \frac{\pi}{12} $ не попадает в интервал $ [\pi/4, 5\pi/4] $, так как $ \frac{\pi}{12} < \frac{\pi}{4} $. Для этих корней $ \sin x < \cos x $. Решения посторонние.
- При $ k=2n+1 $ (нечетное): $ x = \frac{\pi}{12} + \pi(2n+1) = \frac{13\pi}{12} + 2\pi n $. Угол $ \frac{13\pi}{12} $ попадает в интервал $ [\pi/4, 5\pi/4] $. Эти решения подходят.

б) Проверяем серию $ x = \frac{5\pi}{12} + \pi k $:
- При $ k=2n $ (четное): $ x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n $. Угол $ \frac{5\pi}{12} $ попадает в интервал $ [\pi/4, 5\pi/4] $. Эти решения подходят.
- При $ k=2n+1 $ (нечетное): $ x = \frac{5\pi}{12} + \pi(2n+1) = \frac{17\pi}{12} + 2\pi n $. Угол $ \frac{17\pi}{12} $ не попадает в интервал $ [\pi/4, 5\pi/4] $, так как $ \frac{17\pi}{12} > \frac{5\pi}{4} $. Для этих корней $ \sin x < \cos x $. Решения посторонние.

Итак, окончательные серии решений:
$ x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k $
$ x = \frac{13\pi}{12} + 2\pi k $

Ответ: $ x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k; \quad x = \frac{13\pi}{12} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}. $