Номер 879, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 879, страница 331.

Условие.

879. 1) $ \cos^3 x - 3\cos^2 x + \cos x + \sin 2x = 2\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right); $

2) $ \operatorname{ctg} x + \sin 2x = \operatorname{ctg} 3x. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\cos^3 x - 3\cos^2 x + \cos x + \sin 2x = 2\cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4})\sin(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4})$

Сначала упростим правую часть уравнения, используя формулу произведения тригонометрических функций $2\cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)$.

Пусть $\alpha = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$ и $\beta = \frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}$. Тогда:

$\alpha + \beta = (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) + (\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \frac{x+3x}{2} = \frac{4x}{2} = 2x$.

$\alpha - \beta = (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) - (\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \frac{x-3x}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{-2x}{2} + \frac{2\pi}{4} = -x + \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, правая часть уравнения равна:

$2\cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4})\sin(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \sin(2x) - \sin(\frac{\pi}{2} - x)$.

Используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$, получаем:

$\sin(2x) - \cos x$.

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$\cos^3 x - 3\cos^2 x + \cos x + \sin 2x = \sin 2x - \cos x$.

Сократим $\sin 2x$ в обеих частях и перенесем все слагаемые в левую часть:

$\cos^3 x - 3\cos^2 x + \cos x + \cos x = 0$

$\cos^3 x - 3\cos^2 x + 2\cos x = 0$.

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\cos^2 x - 3\cos x + 2) = 0$.

Это уравнение распадается на два:

1. $\cos x = 0$

2. $\cos^2 x - 3\cos x + 2 = 0$

Решим второе уравнение. Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$t^2 - 3t + 2 = 0$.

По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Корень $t_2=2$ не подходит, так как $|\cos x| \le 1$.

Возвращаемся к переменной $x$. Получаем совокупность уравнений:

$\cos x = 0$ или $\cos x = 1$.

Из $\cos x = 0$ находим решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из $\cos x = 1$ находим решения: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; $x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{ctg } x + \sin 2x = \text{ctg } 3x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Котангенс определен, если его аргумент не кратен $\pi$.

$\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

$\sin 3x \neq 0 \implies 3x \neq \pi n \implies x \neq \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Второе условие является более строгим и включает в себя первое. Итак, ОДЗ: $x \neq \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем уравнение:

$\sin 2x = \text{ctg } 3x - \text{ctg } x$.

Воспользуемся формулой разности котангенсов: $\text{ctg } \alpha - \text{ctg } \beta = \frac{\sin(\beta-\alpha)}{\sin\alpha\sin\beta}$.

$\sin 2x = \frac{\sin(x-3x)}{\sin 3x \sin x} = \frac{\sin(-2x)}{\sin 3x \sin x} = -\frac{\sin 2x}{\sin 3x \sin x}$.

Перенесем все в левую часть:

$\sin 2x + \frac{\sin 2x}{\sin 3x \sin x} = 0$.

Вынесем $\sin 2x$ за скобки:

$\sin 2x \left(1 + \frac{1}{\sin 3x \sin x}\right) = 0$.

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $\sin 2x = 0$

2. $1 + \frac{1}{\sin 3x \sin x} = 0$

Рассмотрим первый случай: $\sin 2x = 0$.

$2x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{2}$, $m \in \mathbb{Z}$.

Проверим эти решения на соответствие ОДЗ ($x \neq \frac{\pi n}{3}$).

Если $m$ — четное число, т.е. $m=2j$, то $x = \frac{\pi(2j)}{2} = \pi j$. Эти значения не входят в ОДЗ, так как при $n=3j$ имеем $x = \frac{\pi (3j)}{3} = \pi j$.

Если $m$ — нечетное число, т.е. $m=2j+1$, то $x = \frac{\pi(2j+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi j$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $\sin x = \pm 1 \neq 0$ и $\sin 3x = \sin(\frac{3\pi}{2} + 3\pi j) = \mp 1 \neq 0$.

Таким образом, из первого случая получаем решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим второй случай: $1 + \frac{1}{\sin 3x \sin x} = 0$.

$\sin 3x \sin x = -1$.

Поскольку значения синуса находятся в диапазоне $[-1, 1]$, произведение двух синусов равно -1 только в двух ситуациях:

А) $\sin 3x = 1$ и $\sin x = -1$.

Из $\sin x = -1$ следует $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Подставим в первое уравнение: $\sin(3(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \sin(-\frac{3\pi}{2} + 6\pi k) = \sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$. Эта серия решений подходит.

Б) $\sin 3x = -1$ и $\sin x = 1$.

Из $\sin x = 1$ следует $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Подставим в первое уравнение: $\sin(3(\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \sin(\frac{3\pi}{2} + 6\pi k) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Эта серия решений также подходит.

Объединяя решения из А) и Б), получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Решения из первого и второго случаев совпадают.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.