Номер 879, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 879, страница 331.
№879 (с. 331)
Условие. №879 (с. 331)
скриншот условия

879. 1) $ \cos^3 x - 3\cos^2 x + \cos x + \sin 2x = 2\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right); $
2) $ \operatorname{ctg} x + \sin 2x = \operatorname{ctg} 3x. $
Решение 1. №879 (с. 331)


Решение 2. №879 (с. 331)

Решение 3. №879 (с. 331)
1) $\cos^3 x - 3\cos^2 x + \cos x + \sin 2x = 2\cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4})\sin(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4})$
Сначала упростим правую часть уравнения, используя формулу произведения тригонометрических функций $2\cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)$.
Пусть $\alpha = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$ и $\beta = \frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}$. Тогда:
$\alpha + \beta = (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) + (\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \frac{x+3x}{2} = \frac{4x}{2} = 2x$.
$\alpha - \beta = (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) - (\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \frac{x-3x}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{-2x}{2} + \frac{2\pi}{4} = -x + \frac{\pi}{2}$.
Таким образом, правая часть уравнения равна:
$2\cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4})\sin(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \sin(2x) - \sin(\frac{\pi}{2} - x)$.
Используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$, получаем:
$\sin(2x) - \cos x$.
Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:
$\cos^3 x - 3\cos^2 x + \cos x + \sin 2x = \sin 2x - \cos x$.
Сократим $\sin 2x$ в обеих частях и перенесем все слагаемые в левую часть:
$\cos^3 x - 3\cos^2 x + \cos x + \cos x = 0$
$\cos^3 x - 3\cos^2 x + 2\cos x = 0$.
Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:
$\cos x (\cos^2 x - 3\cos x + 2) = 0$.
Это уравнение распадается на два:
1. $\cos x = 0$
2. $\cos^2 x - 3\cos x + 2 = 0$
Решим второе уравнение. Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
$t^2 - 3t + 2 = 0$.
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Корень $t_2=2$ не подходит, так как $|\cos x| \le 1$.
Возвращаемся к переменной $x$. Получаем совокупность уравнений:
$\cos x = 0$ или $\cos x = 1$.
Из $\cos x = 0$ находим решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Из $\cos x = 1$ находим решения: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; $x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\text{ctg } x + \sin 2x = \text{ctg } 3x$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Котангенс определен, если его аргумент не кратен $\pi$.
$\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
$\sin 3x \neq 0 \implies 3x \neq \pi n \implies x \neq \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Второе условие является более строгим и включает в себя первое. Итак, ОДЗ: $x \neq \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Преобразуем уравнение:
$\sin 2x = \text{ctg } 3x - \text{ctg } x$.
Воспользуемся формулой разности котангенсов: $\text{ctg } \alpha - \text{ctg } \beta = \frac{\sin(\beta-\alpha)}{\sin\alpha\sin\beta}$.
$\sin 2x = \frac{\sin(x-3x)}{\sin 3x \sin x} = \frac{\sin(-2x)}{\sin 3x \sin x} = -\frac{\sin 2x}{\sin 3x \sin x}$.
Перенесем все в левую часть:
$\sin 2x + \frac{\sin 2x}{\sin 3x \sin x} = 0$.
Вынесем $\sin 2x$ за скобки:
$\sin 2x \left(1 + \frac{1}{\sin 3x \sin x}\right) = 0$.
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1. $\sin 2x = 0$
2. $1 + \frac{1}{\sin 3x \sin x} = 0$
Рассмотрим первый случай: $\sin 2x = 0$.
$2x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{2}$, $m \in \mathbb{Z}$.
Проверим эти решения на соответствие ОДЗ ($x \neq \frac{\pi n}{3}$).
Если $m$ — четное число, т.е. $m=2j$, то $x = \frac{\pi(2j)}{2} = \pi j$. Эти значения не входят в ОДЗ, так как при $n=3j$ имеем $x = \frac{\pi (3j)}{3} = \pi j$.
Если $m$ — нечетное число, т.е. $m=2j+1$, то $x = \frac{\pi(2j+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi j$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $\sin x = \pm 1 \neq 0$ и $\sin 3x = \sin(\frac{3\pi}{2} + 3\pi j) = \mp 1 \neq 0$.
Таким образом, из первого случая получаем решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим второй случай: $1 + \frac{1}{\sin 3x \sin x} = 0$.
$\sin 3x \sin x = -1$.
Поскольку значения синуса находятся в диапазоне $[-1, 1]$, произведение двух синусов равно -1 только в двух ситуациях:
А) $\sin 3x = 1$ и $\sin x = -1$.
Из $\sin x = -1$ следует $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Подставим в первое уравнение: $\sin(3(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \sin(-\frac{3\pi}{2} + 6\pi k) = \sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$. Эта серия решений подходит.
Б) $\sin 3x = -1$ и $\sin x = 1$.
Из $\sin x = 1$ следует $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Подставим в первое уравнение: $\sin(3(\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \sin(\frac{3\pi}{2} + 6\pi k) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Эта серия решений также подходит.
Объединяя решения из А) и Б), получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Решения из первого и второго случаев совпадают.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 879 расположенного на странице 331 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №879 (с. 331), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.