Номер 876, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 876, страница 331.

Условие.

876. 1) $tg 2x = 3tg x;$

2) $ctg 2x = 2ctg x;$

3) $tg(x + \frac{\pi}{4}) + tg(x - \frac{\pi}{4}) = 2;$

4) $tg (2x + 1)ctg(x + 1) = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\tg(2x) = 3\tg x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс определен, если его аргумент не равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$.
$2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$
$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Первое условие является более строгим и включает в себя второе. Итак, ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Используем формулу тангенса двойного угла: $\tg(2x) = \frac{2\tg x}{1 - \tg^2 x}$.
Подставим в исходное уравнение:
$\frac{2\tg x}{1 - \tg^2 x} = 3\tg x$
Перенесем все в левую часть и вынесем $\tg x$ за скобки:
$\frac{2\tg x}{1 - \tg^2 x} - 3\tg x = 0$
$\tg x \left( \frac{2}{1 - \tg^2 x} - 3 \right) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:
1. $\tg x = 0$. Отсюда $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ.
2. $\frac{2}{1 - \tg^2 x} - 3 = 0$.
$\frac{2}{1 - \tg^2 x} = 3$
$2 = 3(1 - \tg^2 x)$
$2 = 3 - 3\tg^2 x$
$3\tg^2 x = 1$
$\tg^2 x = \frac{1}{3}$
$\tg x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Отсюда $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$. Эти значения также удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

2) $\ctg(2x) = 2\ctg x$

ОДЗ: Котангенс определен, если его аргумент не равен $\pi n$.
$2x \neq \pi n \implies x \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$
$x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Первое условие $x \neq \frac{\pi n}{2}$ является более строгим.

Используем формулу котангенса двойного угла: $\ctg(2x) = \frac{\ctg^2 x - 1}{2\ctg x}$.
Подставим в уравнение:
$\frac{\ctg^2 x - 1}{2\ctg x} = 2\ctg x$
Умножим обе части на $2\ctg x$ (согласно ОДЗ, $\ctg x$ не может быть равен нулю или не определен):
$\ctg^2 x - 1 = 4\ctg^2 x$
$3\ctg^2 x = -1$
$\ctg^2 x = -\frac{1}{3}$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Корней нет.

3) $\tg\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \tg\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 2$

ОДЗ: Аргументы тангенсов не должны быть равны $\frac{\pi}{2} + \pi n$.
$x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Это можно объединить в одно условие: $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

Применим формулы тангенса суммы и разности: $\tg(a \pm b) = \frac{\tg a \pm \tg b}{1 \mp \tg a \tg b}$. Учитывая, что $\tg(\frac{\pi}{4}) = 1$:
$\tg\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tg x + 1}{1 - \tg x}$
$\tg\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tg x - 1}{1 + \tg x}$
Подставляем в уравнение:
$\frac{\tg x + 1}{1 - \tg x} + \frac{\tg x - 1}{1 + \tg x} = 2$
Приводим к общему знаменателю $(1 - \tg x)(1 + \tg x) = 1 - \tg^2 x$:
$\frac{(\tg x + 1)(1 + \tg x) + (\tg x - 1)(1 - \tg x)}{1 - \tg^2 x} = 2$
$\frac{(1 + \tg x)^2 - (1 - \tg x)^2}{1 - \tg^2 x} = 2$
В числителе используем формулу разности квадратов: $(1 + \tg x - (1 - \tg x))(1 + \tg x + 1 - \tg x) = (2\tg x)(2) = 4\tg x$.
$\frac{4\tg x}{1 - \tg^2 x} = 2$
Левая часть равна $2 \cdot \frac{2\tg x}{1 - \tg^2 x} = 2\tg(2x)$.
$2\tg(2x) = 2$
$\tg(2x) = 1$
$2x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
Данное решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\tg(2x + 1)\ctg(x + 1) = 1$

ОДЗ:
1. Аргумент тангенса не равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$: $2x + 1 \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
2. Аргумент котангенса не равен $\pi k$: $x + 1 \neq \pi k \implies x \neq -1 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Перепишем уравнение, используя свойство $\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha}$:
$\frac{\tg(2x + 1)}{\tg(x + 1)} = 1$
При этом должно выполняться условие $\tg(x+1) \neq 0$, что совпадает с ОДЗ для котангенса $x+1 \neq \pi k$. Также должно выполняться условие, что $\tg(x+1)$ определен, т.е. $x+1 \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$.
Из уравнения следует:
$\tg(2x + 1) = \tg(x + 1)$

Равенство тангенсов $\tg A = \tg B$ выполняется, если $A = B + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.
$2x + 1 = (x + 1) + \pi k$
$2x - x = 1 - 1 + \pi k$
$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ.
1. $x = \pi k$. Проверяем $x \neq \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}$. Равенство $\pi k = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}$ невозможно, так как в левой части число, кратное $\pi$, а в правой — нет (из-за слагаемого $-\frac{1}{2}$).
2. Проверяем $x \neq -1 + \pi m$. Равенство $\pi k = -1 + \pi m \implies \pi(k-m) = -1$ невозможно для целых $k, m$.
3. Проверяем $x+1 \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$. $\pi k + 1 \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies \pi(k-m) \neq \frac{\pi}{2}-1$ невозможно для целых $k, m$.
Все условия ОДЗ выполняются.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.