Номер 884, страница 332 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 884, страница 332.

Условие.

884. Найти наибольший на интервале $ \left(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\right) $ корень уравнения $ \cos\left(5x + \frac{\pi}{2}\right) + 2\sin x \cos 2x = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи сначала упростим данное тригонометрическое уравнение:

$$ \cos\left(5x + \frac{\pi}{2}\right) + 2\sin x \cos 2x = 0 $$

Используем формулу приведения $ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\alpha $. Применив ее к первому члену уравнения, получим:

$$ -\sin(5x) + 2\sin x \cos 2x = 0 $$

Теперь преобразуем произведение $ 2\sin x \cos 2x $ в сумму с помощью формулы $ 2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B) $:

$$ 2\sin x \cos 2x = \sin(x+2x) + \sin(x-2x) = \sin(3x) + \sin(-x) = \sin(3x) - \sin x $$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:

$$ -\sin(5x) + (\sin(3x) - \sin x) = 0 $$

Умножим обе части на -1 и перегруппируем слагаемые:

$$ \sin(5x) - \sin(3x) + \sin x = 0 $$

$$ (\sin(5x) + \sin x) - \sin(3x) = 0 $$

Применим формулу суммы синусов $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ к выражению в скобках:

$$ 2\sin\left(\frac{5x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x-x}{2}\right) - \sin(3x) = 0 $$

$$ 2\sin(3x)\cos(2x) - \sin(3x) = 0 $$

Вынесем общий множитель $ \sin(3x) $ за скобку:

$$ \sin(3x)(2\cos(2x) - 1) = 0 $$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $ \sin(3x) = 0 $

2) $ 2\cos(2x) - 1 = 0 \implies \cos(2x) = \frac{1}{2} $

Найдем общие решения для каждого уравнения.

Для первого уравнения $ \sin(3x) = 0 $:

$$ 3x = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$

$$ x = \frac{\pi n}{3} $$

Для второго уравнения $ \cos(2x) = \frac{1}{2} $:

$$ 2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$

$$ x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k $$

Теперь необходимо отобрать корни, принадлежащие интервалу $ \left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right) $.

Рассмотрим серию корней $ x = \frac{\pi n}{3} $:

При $ n = -1 $, $ x = -\frac{\pi}{3} $. Этот корень не входит в интервал, так как $ -\frac{\pi}{3} < -\frac{\pi}{6} $.

При $ n = 0 $, $ x = 0 $. Этот корень входит в интервал $ \left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right) $.

При $ n = 1 $, $ x = \frac{\pi}{3} $. Этот корень входит в интервал, так как $ -\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} $.

При $ n = 2 $, $ x = \frac{2\pi}{3} $. Этот корень не входит в интервал, так как $ \frac{2\pi}{3} > \frac{\pi}{2} $.

Рассмотрим серии корней $ x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k $:

Для $ x = \frac{\pi}{6} + \pi k $: при $ k = 0 $, $ x = \frac{\pi}{6} $. Этот корень является границей интервала и не входит в него, так как интервал строгий (открытый). Другие значения $k$ дают корни за пределами интервала.

Для $ x = -\frac{\pi}{6} + \pi k $: при $ k = 0 $, $ x = -\frac{\pi}{6} $. Этот корень является границей интервала и не входит в него. При $ k = 1 $, $ x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} $, что выходит за пределы интервала.

Таким образом, в заданном интервале находятся два корня: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = \frac{\pi}{3} $.

Требуется найти наибольший корень. Сравнивая $ 0 $ и $ \frac{\pi}{3} $, получаем, что наибольшим корнем является $ \frac{\pi}{3} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{3} $