Номер 884, страница 332 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 884, страница 332.
№884 (с. 332)
Условие. №884 (с. 332)
скриншот условия

884. Найти наибольший на интервале $ \left(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\right) $ корень уравнения $ \cos\left(5x + \frac{\pi}{2}\right) + 2\sin x \cos 2x = 0. $
Решение 1. №884 (с. 332)

Решение 2. №884 (с. 332)

Решение 3. №884 (с. 332)
Для решения задачи сначала упростим данное тригонометрическое уравнение:
$$ \cos\left(5x + \frac{\pi}{2}\right) + 2\sin x \cos 2x = 0 $$
Используем формулу приведения $ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\alpha $. Применив ее к первому члену уравнения, получим:
$$ -\sin(5x) + 2\sin x \cos 2x = 0 $$
Теперь преобразуем произведение $ 2\sin x \cos 2x $ в сумму с помощью формулы $ 2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B) $:
$$ 2\sin x \cos 2x = \sin(x+2x) + \sin(x-2x) = \sin(3x) + \sin(-x) = \sin(3x) - \sin x $$
Подставим полученное выражение обратно в уравнение:
$$ -\sin(5x) + (\sin(3x) - \sin x) = 0 $$
Умножим обе части на -1 и перегруппируем слагаемые:
$$ \sin(5x) - \sin(3x) + \sin x = 0 $$
$$ (\sin(5x) + \sin x) - \sin(3x) = 0 $$
Применим формулу суммы синусов $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ к выражению в скобках:
$$ 2\sin\left(\frac{5x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x-x}{2}\right) - \sin(3x) = 0 $$
$$ 2\sin(3x)\cos(2x) - \sin(3x) = 0 $$
Вынесем общий множитель $ \sin(3x) $ за скобку:
$$ \sin(3x)(2\cos(2x) - 1) = 0 $$
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $ \sin(3x) = 0 $
2) $ 2\cos(2x) - 1 = 0 \implies \cos(2x) = \frac{1}{2} $
Найдем общие решения для каждого уравнения.
Для первого уравнения $ \sin(3x) = 0 $:
$$ 3x = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$
$$ x = \frac{\pi n}{3} $$
Для второго уравнения $ \cos(2x) = \frac{1}{2} $:
$$ 2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$
$$ x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k $$
Теперь необходимо отобрать корни, принадлежащие интервалу $ \left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right) $.
Рассмотрим серию корней $ x = \frac{\pi n}{3} $:
При $ n = -1 $, $ x = -\frac{\pi}{3} $. Этот корень не входит в интервал, так как $ -\frac{\pi}{3} < -\frac{\pi}{6} $.
При $ n = 0 $, $ x = 0 $. Этот корень входит в интервал $ \left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right) $.
При $ n = 1 $, $ x = \frac{\pi}{3} $. Этот корень входит в интервал, так как $ -\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} $.
При $ n = 2 $, $ x = \frac{2\pi}{3} $. Этот корень не входит в интервал, так как $ \frac{2\pi}{3} > \frac{\pi}{2} $.
Рассмотрим серии корней $ x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k $:
Для $ x = \frac{\pi}{6} + \pi k $: при $ k = 0 $, $ x = \frac{\pi}{6} $. Этот корень является границей интервала и не входит в него, так как интервал строгий (открытый). Другие значения $k$ дают корни за пределами интервала.
Для $ x = -\frac{\pi}{6} + \pi k $: при $ k = 0 $, $ x = -\frac{\pi}{6} $. Этот корень является границей интервала и не входит в него. При $ k = 1 $, $ x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} $, что выходит за пределы интервала.
Таким образом, в заданном интервале находятся два корня: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = \frac{\pi}{3} $.
Требуется найти наибольший корень. Сравнивая $ 0 $ и $ \frac{\pi}{3} $, получаем, что наибольшим корнем является $ \frac{\pi}{3} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{3} $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 884 расположенного на странице 332 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №884 (с. 332), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.