Номер 865, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 865, страница 330.

Условие.

865. 1) $ \sin 2x = 3\cos x; $

2) $ \sin 4x = \cos^4 x - \sin^4 x; $

3) $ 2\cos^2 x = 1 + 4\sin 2x; $

4) $ 2\cos x + \cos 2x = 2\sin x. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $sin 2x = 3cos x$

Используем формулу синуса двойного угла: $sin 2x = 2sin x cos x$.

$2sin x cos x = 3cos x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону уравнения:

$2sin x cos x - 3cos x = 0$

Вынесем общий множитель $cos x$ за скобки:

$cos x (2sin x - 3) = 0$

Это уравнение распадается на два:

a) $cos x = 0$

Решением этого уравнения является $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

b) $2sin x - 3 = 0$

$sin x = \frac{3}{2}$

Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может превышать 1.

Следовательно, решения исходного уравнения задаются только первой серией корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $sin 4x = cos^4 x - sin^4 x$

Правую часть уравнения можно разложить по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$cos^4 x - sin^4 x = (cos^2 x - sin^2 x)(cos^2 x + sin^2 x)$

Применяем основное тригонометрическое тождество $cos^2 x + sin^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $cos 2x = cos^2 x - sin^2 x$.

$(cos^2 x - sin^2 x)(cos^2 x + sin^2 x) = cos 2x \cdot 1 = cos 2x$

Уравнение принимает вид:

$sin 4x = cos 2x$

Используем формулу синуса двойного угла для $sin 4x = 2sin 2x cos 2x$:

$2sin 2x cos 2x = cos 2x$

$2sin 2x cos 2x - cos 2x = 0$

$cos 2x (2sin 2x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

a) $cos 2x = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

b) $2sin 2x - 1 = 0$

$sin 2x = \frac{1}{2}$

$2x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k$

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, $n, k \in \mathbb{Z}$.

3) $2cos^2 x = 1 + 4sin 2x$

Используем формулу понижения степени для косинуса: $2cos^2 x = 1 + cos 2x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$1 + cos 2x = 1 + 4sin 2x$

$cos 2x = 4sin 2x$

Если $cos 2x = 0$, то и $sin 2x$ должен быть равен 0, что невозможно, так как $sin^2(2x) + cos^2(2x) = 1$. Следовательно, $cos 2x \neq 0$. Можем разделить обе части уравнения на $cos 2x$:

$\frac{cos 2x}{cos 2x} = \frac{4sin 2x}{cos 2x}$

$1 = 4tan 2x$

$tan 2x = \frac{1}{4}$

Решаем это уравнение относительно $2x$:

$2x = arctan(\frac{1}{4}) + \pi n$

$x = \frac{1}{2}arctan(\frac{1}{4}) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2}arctan(\frac{1}{4}) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4) $2cos x + cos 2x = 2sin x$

Перенесем $2sin x$ в левую часть и используем формулу косинуса двойного угла $cos 2x = cos^2 x - sin^2 x$:

$2cos x - 2sin x + cos^2 x - sin^2 x = 0$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов:

$2(cos x - sin x) + (cos x - sin x)(cos x + sin x) = 0$

Вынесем общий множитель $(cos x - sin x)$ за скобки:

$(cos x - sin x)(2 + cos x + sin x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

a) $cos x - sin x = 0$

$cos x = sin x$

Если $cos x = 0$, то и $sin x=0$, что невозможно. Значит, $cos x \neq 0$. Делим обе части на $cos x$:

$1 = tan x$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

b) $2 + cos x + sin x = 0$

$cos x + sin x = -2$

Преобразуем левую часть методом вспомогательного угла: $cos x + sin x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}sin x) = \sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4})$.

$\sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4}) = -2$

$sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$

Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может быть меньше -1, а $-\sqrt{2} < -1$.

Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.