Номер 865, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 865, страница 330.
№865 (с. 330)
Условие. №865 (с. 330)
скриншот условия

865. 1) $ \sin 2x = 3\cos x; $
2) $ \sin 4x = \cos^4 x - \sin^4 x; $
3) $ 2\cos^2 x = 1 + 4\sin 2x; $
4) $ 2\cos x + \cos 2x = 2\sin x. $
Решение 1. №865 (с. 330)




Решение 2. №865 (с. 330)


Решение 3. №865 (с. 330)
1) $sin 2x = 3cos x$
Используем формулу синуса двойного угла: $sin 2x = 2sin x cos x$.
$2sin x cos x = 3cos x$
Перенесем все слагаемые в одну сторону уравнения:
$2sin x cos x - 3cos x = 0$
Вынесем общий множитель $cos x$ за скобки:
$cos x (2sin x - 3) = 0$
Это уравнение распадается на два:
a) $cos x = 0$
Решением этого уравнения является $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
b) $2sin x - 3 = 0$
$sin x = \frac{3}{2}$
Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может превышать 1.
Следовательно, решения исходного уравнения задаются только первой серией корней.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $sin 4x = cos^4 x - sin^4 x$
Правую часть уравнения можно разложить по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$cos^4 x - sin^4 x = (cos^2 x - sin^2 x)(cos^2 x + sin^2 x)$
Применяем основное тригонометрическое тождество $cos^2 x + sin^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $cos 2x = cos^2 x - sin^2 x$.
$(cos^2 x - sin^2 x)(cos^2 x + sin^2 x) = cos 2x \cdot 1 = cos 2x$
Уравнение принимает вид:
$sin 4x = cos 2x$
Используем формулу синуса двойного угла для $sin 4x = 2sin 2x cos 2x$:
$2sin 2x cos 2x = cos 2x$
$2sin 2x cos 2x - cos 2x = 0$
$cos 2x (2sin 2x - 1) = 0$
Это уравнение распадается на два:
a) $cos 2x = 0$
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
b) $2sin 2x - 1 = 0$
$sin 2x = \frac{1}{2}$
$2x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k$
$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$
$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, $n, k \in \mathbb{Z}$.
3) $2cos^2 x = 1 + 4sin 2x$
Используем формулу понижения степени для косинуса: $2cos^2 x = 1 + cos 2x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$1 + cos 2x = 1 + 4sin 2x$
$cos 2x = 4sin 2x$
Если $cos 2x = 0$, то и $sin 2x$ должен быть равен 0, что невозможно, так как $sin^2(2x) + cos^2(2x) = 1$. Следовательно, $cos 2x \neq 0$. Можем разделить обе части уравнения на $cos 2x$:
$\frac{cos 2x}{cos 2x} = \frac{4sin 2x}{cos 2x}$
$1 = 4tan 2x$
$tan 2x = \frac{1}{4}$
Решаем это уравнение относительно $2x$:
$2x = arctan(\frac{1}{4}) + \pi n$
$x = \frac{1}{2}arctan(\frac{1}{4}) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{1}{2}arctan(\frac{1}{4}) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
4) $2cos x + cos 2x = 2sin x$
Перенесем $2sin x$ в левую часть и используем формулу косинуса двойного угла $cos 2x = cos^2 x - sin^2 x$:
$2cos x - 2sin x + cos^2 x - sin^2 x = 0$
Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов:
$2(cos x - sin x) + (cos x - sin x)(cos x + sin x) = 0$
Вынесем общий множитель $(cos x - sin x)$ за скобки:
$(cos x - sin x)(2 + cos x + sin x) = 0$
Это уравнение распадается на два:
a) $cos x - sin x = 0$
$cos x = sin x$
Если $cos x = 0$, то и $sin x=0$, что невозможно. Значит, $cos x \neq 0$. Делим обе части на $cos x$:
$1 = tan x$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
b) $2 + cos x + sin x = 0$
$cos x + sin x = -2$
Преобразуем левую часть методом вспомогательного угла: $cos x + sin x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}sin x) = \sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4})$.
$\sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4}) = -2$
$sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$
Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может быть меньше -1, а $-\sqrt{2} < -1$.
Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 865 расположенного на странице 330 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №865 (с. 330), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.