Номер 855, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 855, страница 330.

Условие.

855. 1) $\log_3 3x + \log_3 (4x + 1) = \log_{4x^2 + x} 9;$

2) $\log_2 \frac{x}{2} + \log_2 (21x - 2) = 2\log_{21x^2 - 2x} 8.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $ \log_3(3x) + \log_3(4x + 1) = \log_{4x^2+x}(9) $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными, а основание логарифма должно быть положительным и не равным единице.

$ \begin{cases} 3x > 0 \\ 4x + 1 > 0 \\ 4x^2 + x > 0 \\ 4x^2 + x \neq 1 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем $x > 0$. Из второго $x > -1/4$. Объединяя, имеем $x > 0$.
При $x > 0$ неравенство $4x^2 + x = x(4x+1) > 0$ выполняется автоматически.
Решим уравнение $4x^2 + x - 1 = 0$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 1 + 16 = 17$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{8}$.
Таким образом, ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq \frac{-1 + \sqrt{17}}{8}$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $:
$ \log_3(3x \cdot (4x+1)) = \log_3(12x^2 + 3x) $

Заметим, что $12x^2 + 3x = 3(4x^2 + x)$. Используем свойство логарифма произведения:
$ \log_3(3(4x^2+x)) = \log_3(3) + \log_3(4x^2+x) = 1 + \log_3(4x^2+x) $

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу перехода к новому основанию $ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $ и тот факт, что $ \log_3(9) = 2 $:
$ \log_{4x^2+x}(9) = \frac{\log_3(9)}{\log_3(4x^2+x)} = \frac{2}{\log_3(4x^2+x)} $

Теперь уравнение имеет вид:
$ 1 + \log_3(4x^2+x) = \frac{2}{\log_3(4x^2+x)} $

Сделаем замену. Пусть $ y = \log_3(4x^2+x) $. Тогда уравнение примет вид:
$ 1 + y = \frac{2}{y} $
Домножим обе части на $y$ (при условии $y \neq 0$, что соответствует $4x^2+x \neq 1$, учтенному в ОДЗ):
$ y(1+y) = 2 $
$ y^2 + y - 2 = 0 $
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Выполним обратную замену.
Случай 1: $y = 1$.
$ \log_3(4x^2+x) = 1 $
$ 4x^2 + x = 3^1 $
$ 4x^2 + x - 3 = 0 $
$ D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2 $
$ x = \frac{-1 \pm 7}{8} $.
$ x_1 = \frac{-1+7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $ (удовлетворяет ОДЗ).
$ x_2 = \frac{-1-7}{8} = -1 $ (не удовлетворяет ОДЗ, так как $x>0$).

Случай 2: $y = -2$.
$ \log_3(4x^2+x) = -2 $
$ 4x^2 + x = 3^{-2} $
$ 4x^2 + x = \frac{1}{9} $
$ 36x^2 + 9x - 1 = 0 $
$ D = 9^2 - 4 \cdot 36 \cdot (-1) = 81 + 144 = 225 = 15^2 $
$ x = \frac{-9 \pm 15}{72} $.
$ x_3 = \frac{-9+15}{72} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12} $ (удовлетворяет ОДЗ).
$ x_4 = \frac{-9-15}{72} = \frac{-24}{72} = -\frac{1}{3} $ (не удовлетворяет ОДЗ, так как $x>0$).

Ответ: $ \frac{1}{12}; \frac{3}{4} $.

2) $ \log_2(\frac{x}{2}) + \log_2(21x - 2) = 2\log_{21x^2-2x}(8) $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} \frac{x}{2} > 0 \\ 21x - 2 > 0 \\ 21x^2 - 2x > 0 \\ 21x^2 - 2x \neq 1 \end{cases} $

Из первого неравенства $x > 0$. Из второго $x > \frac{2}{21}$. Объединяя, получаем $x > \frac{2}{21}$.
При $x > \frac{2}{21}$ неравенство $21x^2 - 2x = x(21x-2) > 0$ выполняется автоматически.
Решим уравнение $21x^2 - 2x - 1 = 0$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-1) = 4 + 84 = 88$.
$x = \frac{2 \pm \sqrt{88}}{42} = \frac{2 \pm 2\sqrt{22}}{42} = \frac{1 \pm \sqrt{22}}{21}$.
Таким образом, ОДЗ: $x > \frac{2}{21}$ и $x \neq \frac{1 + \sqrt{22}}{21}$.

Преобразуем левую часть уравнения:
$ \log_2(\frac{x}{2} \cdot (21x-2)) = \log_2(\frac{21x^2-2x}{2}) = \log_2(21x^2-2x) - \log_2(2) = \log_2(21x^2-2x) - 1 $

Преобразуем правую часть уравнения:
$ 2\log_{21x^2-2x}(8) = 2 \cdot \frac{\log_2(8)}{\log_2(21x^2-2x)} = 2 \cdot \frac{3}{\log_2(21x^2-2x)} = \frac{6}{\log_2(21x^2-2x)} $

Уравнение принимает вид:
$ \log_2(21x^2-2x) - 1 = \frac{6}{\log_2(21x^2-2x)} $

Сделаем замену. Пусть $ z = \log_2(21x^2-2x) $. Тогда:
$ z - 1 = \frac{6}{z} $
$ z(z-1) = 6 $
$ z^2 - z - 6 = 0 $
По теореме Виета корни $z_1 = 3$ и $z_2 = -2$.

Выполним обратную замену.
Случай 1: $z = 3$.
$ \log_2(21x^2-2x) = 3 $
$ 21x^2 - 2x = 2^3 $
$ 21x^2 - 2x - 8 = 0 $
$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-8) = 4 + 672 = 676 = 26^2 $
$ x = \frac{2 \pm 26}{42} $
$ x_1 = \frac{2+26}{42} = \frac{28}{42} = \frac{2}{3} $ (удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{2}{3} = \frac{14}{21} > \frac{2}{21}$).
$ x_2 = \frac{2-26}{42} = \frac{-24}{42} = -\frac{4}{7} $ (не удовлетворяет ОДЗ).

Случай 2: $z = -2$.
$ \log_2(21x^2-2x) = -2 $
$ 21x^2 - 2x = 2^{-2} $
$ 21x^2 - 2x = \frac{1}{4} $
$ 84x^2 - 8x - 1 = 0 $
$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 84 \cdot (-1) = 64 + 336 = 400 = 20^2 $
$ x = \frac{8 \pm 20}{168} $
$ x_3 = \frac{8+20}{168} = \frac{28}{168} = \frac{1}{6} $ (удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{1}{6} = \frac{3.5}{21} > \frac{2}{21}$).
$ x_4 = \frac{8-20}{168} = \frac{-12}{168} = -\frac{1}{14} $ (не удовлетворяет ОДЗ).

Ответ: $ \frac{1}{6}; \frac{2}{3} $.