Номер 778, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 778, страница 325.

Условие.

778. 1) $\cos^2(\alpha + 2\beta) + \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1;$

2) $\sin^2(\alpha + 2\beta) + \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Упростим выражение $ \cos^2(\alpha + 2\beta) + \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1 $.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $, из которого следует, что $ \sin^2(x) - 1 = -\cos^2(x) $. Применим это к части нашего выражения:

$ \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1 = -\cos^2(\alpha - 2\beta) $

Подставим это обратно в исходное выражение:

$ \cos^2(\alpha + 2\beta) - \cos^2(\alpha - 2\beta) $

Теперь применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $:

$ (\cos(\alpha + 2\beta) - \cos(\alpha - 2\beta))(\cos(\alpha + 2\beta) + \cos(\alpha - 2\beta)) $

Далее используем формулы преобразования суммы и разности косинусов в произведение:

$ \cos(x) - \cos(y) = -2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right) $

$ \cos(x) + \cos(y) = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $

В нашем случае $ x = \alpha + 2\beta $ и $ y = \alpha - 2\beta $. Найдем полусумму и полуразность:

$ \frac{x+y}{2} = \frac{(\alpha + 2\beta) + (\alpha - 2\beta)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $

$ \frac{x-y}{2} = \frac{(\alpha + 2\beta) - (\alpha - 2\beta)}{2} = \frac{4\beta}{2} = 2\beta $

Подставляем эти значения в формулы преобразования:

$ \cos(\alpha + 2\beta) - \cos(\alpha - 2\beta) = -2\sin(\alpha)\sin(2\beta) $

$ \cos(\alpha + 2\beta) + \cos(\alpha - 2\beta) = 2\cos(\alpha)\cos(2\beta) $

Перемножим полученные выражения:

$ (-2\sin(\alpha)\sin(2\beta)) \cdot (2\cos(\alpha)\cos(2\beta)) = -4\sin(\alpha)\cos(\alpha)\sin(2\beta)\cos(2\beta) $

Сгруппируем множители и применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $:

$ -(2\sin(\alpha)\cos(\alpha)) \cdot (2\sin(2\beta)\cos(2\beta)) = -\sin(2\alpha) \cdot \sin(2 \cdot 2\beta) = -\sin(2\alpha)\sin(4\beta) $

Ответ: $ -\sin(2\alpha)\sin(4\beta) $

2) Упростим выражение $ \sin^2(\alpha + 2\beta) + \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1 $.

Используем формулу понижения степени для синуса: $ \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $. Применим ее к обоим членам с синусом в квадрате:

$ \sin^2(\alpha + 2\beta) = \frac{1 - \cos(2(\alpha + 2\beta))}{2} = \frac{1 - \cos(2\alpha + 4\beta)}{2} $

$ \sin^2(\alpha - 2\beta) = \frac{1 - \cos(2(\alpha - 2\beta))}{2} = \frac{1 - \cos(2\alpha - 4\beta)}{2} $

Подставим эти выражения в исходное:

$ \frac{1 - \cos(2\alpha + 4\beta)}{2} + \frac{1 - \cos(2\alpha - 4\beta)}{2} - 1 $

Приведем к общему знаменателю и упростим:

$ \frac{1 - \cos(2\alpha + 4\beta) + 1 - \cos(2\alpha - 4\beta) - 2}{2} $

$ \frac{-\cos(2\alpha + 4\beta) - \cos(2\alpha - 4\beta)}{2} = -\frac{1}{2}(\cos(2\alpha + 4\beta) + \cos(2\alpha - 4\beta)) $

Теперь воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов в произведение:

$ \cos(x) + \cos(y) = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $

В нашем случае $ x = 2\alpha + 4\beta $ и $ y = 2\alpha - 4\beta $. Найдем полусумму и полуразность:

$ \frac{x+y}{2} = \frac{(2\alpha + 4\beta) + (2\alpha - 4\beta)}{2} = \frac{4\alpha}{2} = 2\alpha $

$ \frac{x-y}{2} = \frac{(2\alpha + 4\beta) - (2\alpha - 4\beta)}{2} = \frac{8\beta}{2} = 4\beta $

Подставим результат в наше выражение:

$ -\frac{1}{2}(2\cos(2\alpha)\cos(4\beta)) = -\cos(2\alpha)\cos(4\beta) $

Ответ: $ -\cos(2\alpha)\cos(4\beta) $