Номер 778, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 778, страница 325.
№778 (с. 325)
Условие. №778 (с. 325)
скриншот условия

778. 1) $\cos^2(\alpha + 2\beta) + \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1;$
2) $\sin^2(\alpha + 2\beta) + \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1.$
Решение 1. №778 (с. 325)


Решение 2. №778 (с. 325)

Решение 3. №778 (с. 325)
1) Упростим выражение $ \cos^2(\alpha + 2\beta) + \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1 $.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $, из которого следует, что $ \sin^2(x) - 1 = -\cos^2(x) $. Применим это к части нашего выражения:
$ \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1 = -\cos^2(\alpha - 2\beta) $
Подставим это обратно в исходное выражение:
$ \cos^2(\alpha + 2\beta) - \cos^2(\alpha - 2\beta) $
Теперь применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $:
$ (\cos(\alpha + 2\beta) - \cos(\alpha - 2\beta))(\cos(\alpha + 2\beta) + \cos(\alpha - 2\beta)) $
Далее используем формулы преобразования суммы и разности косинусов в произведение:
$ \cos(x) - \cos(y) = -2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right) $
$ \cos(x) + \cos(y) = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $
В нашем случае $ x = \alpha + 2\beta $ и $ y = \alpha - 2\beta $. Найдем полусумму и полуразность:
$ \frac{x+y}{2} = \frac{(\alpha + 2\beta) + (\alpha - 2\beta)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $
$ \frac{x-y}{2} = \frac{(\alpha + 2\beta) - (\alpha - 2\beta)}{2} = \frac{4\beta}{2} = 2\beta $
Подставляем эти значения в формулы преобразования:
$ \cos(\alpha + 2\beta) - \cos(\alpha - 2\beta) = -2\sin(\alpha)\sin(2\beta) $
$ \cos(\alpha + 2\beta) + \cos(\alpha - 2\beta) = 2\cos(\alpha)\cos(2\beta) $
Перемножим полученные выражения:
$ (-2\sin(\alpha)\sin(2\beta)) \cdot (2\cos(\alpha)\cos(2\beta)) = -4\sin(\alpha)\cos(\alpha)\sin(2\beta)\cos(2\beta) $
Сгруппируем множители и применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $:
$ -(2\sin(\alpha)\cos(\alpha)) \cdot (2\sin(2\beta)\cos(2\beta)) = -\sin(2\alpha) \cdot \sin(2 \cdot 2\beta) = -\sin(2\alpha)\sin(4\beta) $
Ответ: $ -\sin(2\alpha)\sin(4\beta) $
2) Упростим выражение $ \sin^2(\alpha + 2\beta) + \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1 $.
Используем формулу понижения степени для синуса: $ \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $. Применим ее к обоим членам с синусом в квадрате:
$ \sin^2(\alpha + 2\beta) = \frac{1 - \cos(2(\alpha + 2\beta))}{2} = \frac{1 - \cos(2\alpha + 4\beta)}{2} $
$ \sin^2(\alpha - 2\beta) = \frac{1 - \cos(2(\alpha - 2\beta))}{2} = \frac{1 - \cos(2\alpha - 4\beta)}{2} $
Подставим эти выражения в исходное:
$ \frac{1 - \cos(2\alpha + 4\beta)}{2} + \frac{1 - \cos(2\alpha - 4\beta)}{2} - 1 $
Приведем к общему знаменателю и упростим:
$ \frac{1 - \cos(2\alpha + 4\beta) + 1 - \cos(2\alpha - 4\beta) - 2}{2} $
$ \frac{-\cos(2\alpha + 4\beta) - \cos(2\alpha - 4\beta)}{2} = -\frac{1}{2}(\cos(2\alpha + 4\beta) + \cos(2\alpha - 4\beta)) $
Теперь воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов в произведение:
$ \cos(x) + \cos(y) = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $
В нашем случае $ x = 2\alpha + 4\beta $ и $ y = 2\alpha - 4\beta $. Найдем полусумму и полуразность:
$ \frac{x+y}{2} = \frac{(2\alpha + 4\beta) + (2\alpha - 4\beta)}{2} = \frac{4\alpha}{2} = 2\alpha $
$ \frac{x-y}{2} = \frac{(2\alpha + 4\beta) - (2\alpha - 4\beta)}{2} = \frac{8\beta}{2} = 4\beta $
Подставим результат в наше выражение:
$ -\frac{1}{2}(2\cos(2\alpha)\cos(4\beta)) = -\cos(2\alpha)\cos(4\beta) $
Ответ: $ -\cos(2\alpha)\cos(4\beta) $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 778 расположенного на странице 325 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №778 (с. 325), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.