Номер 778, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 778, страница 325.

№778 (с. 325)
Условие. №778 (с. 325)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 325, номер 778, Условие

778. 1) $\cos^2(\alpha + 2\beta) + \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1;$

2) $\sin^2(\alpha + 2\beta) + \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1.$

Решение 1. №778 (с. 325)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 325, номер 778, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 325, номер 778, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №778 (с. 325)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 325, номер 778, Решение 2
Решение 3. №778 (с. 325)

1) Упростим выражение $ \cos^2(\alpha + 2\beta) + \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1 $.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $, из которого следует, что $ \sin^2(x) - 1 = -\cos^2(x) $. Применим это к части нашего выражения:

$ \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1 = -\cos^2(\alpha - 2\beta) $

Подставим это обратно в исходное выражение:

$ \cos^2(\alpha + 2\beta) - \cos^2(\alpha - 2\beta) $

Теперь применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $:

$ (\cos(\alpha + 2\beta) - \cos(\alpha - 2\beta))(\cos(\alpha + 2\beta) + \cos(\alpha - 2\beta)) $

Далее используем формулы преобразования суммы и разности косинусов в произведение:

$ \cos(x) - \cos(y) = -2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right) $

$ \cos(x) + \cos(y) = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $

В нашем случае $ x = \alpha + 2\beta $ и $ y = \alpha - 2\beta $. Найдем полусумму и полуразность:

$ \frac{x+y}{2} = \frac{(\alpha + 2\beta) + (\alpha - 2\beta)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $

$ \frac{x-y}{2} = \frac{(\alpha + 2\beta) - (\alpha - 2\beta)}{2} = \frac{4\beta}{2} = 2\beta $

Подставляем эти значения в формулы преобразования:

$ \cos(\alpha + 2\beta) - \cos(\alpha - 2\beta) = -2\sin(\alpha)\sin(2\beta) $

$ \cos(\alpha + 2\beta) + \cos(\alpha - 2\beta) = 2\cos(\alpha)\cos(2\beta) $

Перемножим полученные выражения:

$ (-2\sin(\alpha)\sin(2\beta)) \cdot (2\cos(\alpha)\cos(2\beta)) = -4\sin(\alpha)\cos(\alpha)\sin(2\beta)\cos(2\beta) $

Сгруппируем множители и применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $:

$ -(2\sin(\alpha)\cos(\alpha)) \cdot (2\sin(2\beta)\cos(2\beta)) = -\sin(2\alpha) \cdot \sin(2 \cdot 2\beta) = -\sin(2\alpha)\sin(4\beta) $

Ответ: $ -\sin(2\alpha)\sin(4\beta) $

2) Упростим выражение $ \sin^2(\alpha + 2\beta) + \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1 $.

Используем формулу понижения степени для синуса: $ \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $. Применим ее к обоим членам с синусом в квадрате:

$ \sin^2(\alpha + 2\beta) = \frac{1 - \cos(2(\alpha + 2\beta))}{2} = \frac{1 - \cos(2\alpha + 4\beta)}{2} $

$ \sin^2(\alpha - 2\beta) = \frac{1 - \cos(2(\alpha - 2\beta))}{2} = \frac{1 - \cos(2\alpha - 4\beta)}{2} $

Подставим эти выражения в исходное:

$ \frac{1 - \cos(2\alpha + 4\beta)}{2} + \frac{1 - \cos(2\alpha - 4\beta)}{2} - 1 $

Приведем к общему знаменателю и упростим:

$ \frac{1 - \cos(2\alpha + 4\beta) + 1 - \cos(2\alpha - 4\beta) - 2}{2} $

$ \frac{-\cos(2\alpha + 4\beta) - \cos(2\alpha - 4\beta)}{2} = -\frac{1}{2}(\cos(2\alpha + 4\beta) + \cos(2\alpha - 4\beta)) $

Теперь воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов в произведение:

$ \cos(x) + \cos(y) = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $

В нашем случае $ x = 2\alpha + 4\beta $ и $ y = 2\alpha - 4\beta $. Найдем полусумму и полуразность:

$ \frac{x+y}{2} = \frac{(2\alpha + 4\beta) + (2\alpha - 4\beta)}{2} = \frac{4\alpha}{2} = 2\alpha $

$ \frac{x-y}{2} = \frac{(2\alpha + 4\beta) - (2\alpha - 4\beta)}{2} = \frac{8\beta}{2} = 4\beta $

Подставим результат в наше выражение:

$ -\frac{1}{2}(2\cos(2\alpha)\cos(4\beta)) = -\cos(2\alpha)\cos(4\beta) $

Ответ: $ -\cos(2\alpha)\cos(4\beta) $

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 778 расположенного на странице 325 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №778 (с. 325), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.